Quiero averiguar cómo muchas Topologías están en el conjunto X

Question

Tengo el set $$X = \{1, 2, 3\}$$

y quiero averiguar cómo muchos diferentes topologías que puede obtener de la set $X$

así que lo que he hecho es suponer que el conjunto vacío y el conjunto se en $T$

y que cualquier unión de elementos va a satisfacer, $X \in T$, así como de la intersección de los elementos.

por lo tanto, todas las posibilidades serán considerados topologías.

así que después de asumir esto, mi respuesta me alcanza era un simple $3!*3! + \emptyset = 37$.

Me lleva al hecho de que creo que hay 37 diferentes topologías de possibel de este conjunto $X$.

Cualquier ayuda, disccrestions, criticims, o correcciones sería genial, sólo tengo el 75% de confianza en este resultado.

gracias de antemano

Answer 1

Basta con contar los bloques abiertos. En primer lugar, si $X$ es un conjunto y $S\subseteq X$, $\{\varnothing, S, X\}$ es una topología de $X$. También si $A$ $B$ son subconjuntos de a $X$ $\{\varnothing, A,A\cap B, B, X\}$ es una topología para $X$.

Utilizando el primer hecho, se puede determinar que existen $7$ topologías más de $X$ (esto incluye $S=\varnothing$ o $S=X$).

Utilizando el segundo hecho nos puede contar algo más de topologías. Cuando uno es un singleton y el otro su complemento, contamos 3 topologías.

Cuando uno es un singleton, y otros un doubleton que contiene el singleton, contamos con 3 más.

Cuando ambos son distintos los embarazos únicos, tenemos 3 topologías.

A continuación se pueden contar más de 3 topologías, contando con 2 elementos de los conjuntos que comparten 1 elemento.

Usted puede ver cómo contar el resto considerando $\{\varnothing, A,B,C,A\cap B,A\cap C,etc.,\dots, X\}$