Encontrar uno de los lados de un triángulo rectángulo cuando usted sabe que parte de el otro lado y dos ángulos?

Question

Digamos que es un barco anclado en el mar, con un ángulo de $a$ entre la superficie y la línea de anclaje. El barco se mueve una distancia $X$ hacia el punto de anclaje, mediante el cual los cambios en el ángulo de a $b$. ¿Cómo puedo a partir de estos parámetros conocidos calcular la profundidad del punto de anclaje?

Hice algunos malabarismos con $\tan$, y llegó a la

$$Y = \frac X{\tan(90-a) - \tan(90-b)}$$

Es esto correcto?

Hice algunas pruebas y parece que funciona, pero no estoy del todo seguro de que lo estoy probando correctamente. Estaba esperando que alguien podría confirmar la fórmula o sugerir uno mejor.

(Se me olvidó el ángulo derecho marcador en la esquina superior derecha de la figura!)

Answer 1

Vamos a la línea horizontal punteada tienen la longitud $T$. Entonces tenemos $$\tan b=\frac YT\implies T=\frac Y{\tan b}$$ and $$\tan a=\frac Y{X-T}\implies X\tan a-\frac Y{\tan b}\tan a=Y$$ so $$Y=\frac{X\tan a}{1+\frac{\tan a}{\tan b}}=\frac{X\tan a\tan b}{\tan a+\tan b}$$

Answer 2

Bueno, mi jiggery pokery me da que

$\tan a = \frac {Y}{X + k}$ $\tan b = \frac {Y}{k}$

$k$ es un valor desconocido. $k = \frac Y{\tan b} = \cot b Y$ , por lo que

$\tan a = \frac Y{X + \cot b Y}$

$X\tan a + \tan a\cot b Y = Y$

$Y(1-\tan a\cot b) = X\tan a$

$Y = \frac {X\tan a}{1- \tan a\cot b}$

$Y = \frac X{\cot a - \cot b}$

$= \frac X{\tan(90 - a) - \tan(90 -b)}$.

Así parece bien a mí.

....

Usted y yo probablemente ha sido un poco más directo.

$M = X + k = Y\times \cot a$

$k = Y\times \cot b$

Por lo $X = M - k = Y(\cot a - \cot b)$ y

$Y = \frac X{\cot a - \cot b}$.