¿La debilidad de la convergencia implica la norma de la convergencia en lo finito dimensional subespacio?

Question

Deje $X$ ser reflexiva espacio de Banach y supongamos que $$x_k\to x_0\quad \mbox{weakly in}\quad X.$$ Supongamos que existe un número finito de dimensiones subespacio $Y\subset X$ tal que $x_k, x_0 \in Y$. Implica que $$x_k\to x_0\quad (\mbox{strongly})?\qquad (1)$$

He pensado que podemos dotar a $Y$ con la topología inducida por $X$ topología. Desde $Y$ es finito dimensional, entonces fuertes y débiles de las topologías de coincidir, y obtenemos (1).

Answer 1

La respuesta es sí.

Lema

Deje $X$ ser un espacio topológico y $Y$ su subespacio. Supongamos que $(x_n)_n$ es una secuencia en $Y$ $x \in Y$ tal que $x_n \to x$$X$. A continuación,$x_n \to x$$Y$.

Prueba.

Deje $V$ ser un barrio de $x$$Y$. Por definición de la topología de subespacio, existe un conjunto abierto $U$ $X$ tal que $U \cap Y = V$. $U$ es entonces un abrir barrio de $x$$X$, por lo que no existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $x_n \in U, \forall n \ge n_0$. Pero entonces, dado que la $x_n \in Y$,$x_n \in U \cap Y = V, \forall n \ge n_0$.

Aplica a esta situación: la topología débil de $Y$ es la topología de subespacio de w.r.t a la debilidad de la topología de $X$. Desde $x_n \to x$ débilmente en $X$, por el lema llegamos a la conclusión de $x_n \to x$ débilmente en $Y$.

Ahora desde $Y$ es finito-dimensional, débiles y fuertes de la topología en $Y$ coinciden, por lo $x_n \to x$ fuertemente en $Y$. Luego, por supuesto, $x_n \to x$ fuertemente en $X$.