coin flips y de la cadena de markov

Question

Considere el caso de una infinita (o finito $n$) de la cadena de lanzar una moneda, y deje $q$ $1-q$ las probabilidades de que la moneda viene colas y cabezas, respectivamente. (Para simplificar, se puede tomar $q=\frac12$, de modo que la fracción de las colas y las cabezas son de la misma).

Deje $p$ la probabilidad de que, si un determinado sorteo es de las colas, que será seguido por las colas. (Si $q = \frac12$, esta es la misma probabilidad de obtener cara después de cabezas, bien podría ser una probabilidad diferente.)

¿Cuál es la probabilidad de obtener tres o más colas consecutivamente de $n$ flips (y, alternativamente, de infinito número de lanzamientos).

Por ejemplo: $TTT-H-TTT-HH-TTTT\dots$

Podemos tener la mitad de las colas y la mitad de las cabezas en total (cuando $q=\frac12$). $p$ no afecta a la fracción de las colas y las cabezas en el límite, pero afecta la forma en que se agrupan. Así que cuando $p=1$ sólo tenemos 2 'secciones' tal que una sección está compuesta de sólo las colas y la otra se ejecuta sólo las cabezas. (ex: $TTTTT \dots HHHHH$). Para $p=0$, será como $THTHTHTH\dots$

Estoy buscando:

1. La fracción de las colas que están en las secciones de tamaño de tres o más.
2. El tamaño esperado de las secciones con las colas.

Yo estaría muy agradecido si usted me podría ayudar con esto!

Answer 1

Para calcular la probabilidad de obtener 3 colas en una fila en $n$ tiros, se puede crear una cadena de Markov con los estados $H$, $T_1$, $T_2$ y $T_3$, y las probabilidades de transición:

$$P(H \to H) = P(T_1 \to T_2) = P(T_2 \to T_3) = p$$ $$P(H \to T_1) = P(T_1 \to H) = P(T_2 \to H) = 1-p$$ $$P(T_3 \to T_3) = 1$$

A continuación, calcular la probabilidad de acabar en el estado de absorción de $T_3$ después $n-1$ pasos, a partir del estado de $H$ con una probabilidad de $\frac12$ e de $T_1$ con una probabilidad de $\frac12$ (a cuenta para el primer sorteo).

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Edit: para responder A sus preguntas más tarde, la longitud de secuencias consecutivas de colas es geométricamente distribuidos con el parámetro $1-p$. Por lo tanto:

1. La probabilidad de que un elegido al azar de la sección de colas tiene una longitud de $k$$p^{k-1}(1-p)$, y así la fracción de colas en las secciones de longitud $k$ es proporcional a $kp^{k-1}(1-p)$ (ver abajo para que la probabilidad). Por lo tanto, la fracción de colas en las secciones de $n$ o más es $$\frac{\sum_{k=n}^\infty kp^{k-1}(1-p)}{\sum_{k=1}^\infty kp^{k-1}(1-p)} = \frac{\sum_{k=n}^\infty kp^k}{\sum_{k=1}^\infty kp^k} = \frac{p^n(n-np+p)/(1-p)^2}{p/(1-p)^2} = p^{n-1}(n-np+p).$$

2. La duración esperada de un elegido al azar de la sección de cola es de $\dfrac{1}{1-p}$.

   Sin embargo, la fracción de colas en las secciones de $k$ colas es $kp^k\frac{(1-p)^2}{p}$, y así la duración prevista de la sección elegida al azar, "colas" de la sacudida que pertenece está en el hecho de $$\sum_{k=1}^\infty k^2p^k\frac{(1-p)^2}{p} = \frac{p+1}{1-p} = \frac{2}{1-p}-1.$$