Cálculo del símbolo de Legendre $\bigl(\frac{3}{p}\bigr)$ utilizando el lema de Gauss

Question

Me gustaría calcular el símbolo de Legendre $\bigl(\frac{3}{p}\bigr)$ , donde $p > 3$ es un primo utilizando el lema de Gauss.

Lo que tengo hasta ahora es que $p$ puede pertenecer a las siguientes clases de residuos $\mod 12$ , $[1], [11], [5]$ y $[7]$ . Necesito demostrar que en los dos primeros casos, el símbolo de Legendre se evaluará como $1$ y en los dos últimos casos se evaluará a $-1$ .

Por el lema de Gauss, el símbolo de Legendre será $(-1) ^\mu$ , donde $\mu$ es el número de elementos de $3P = 3\{1, 2, \dots, (p-1)/2\}$ que son mayores que $p/2$ . Sin embargo, no sé exactamente cómo calcular $\mu$ , en cada caso ( $p$ pertenecen a diferentes clases de residuos).

Gracias.

Answer 1

Desde $3$ es lo suficientemente pequeño, podemos calcular explícitamente el símbolo gracias al lema. En primer lugar, para $i\in \{[\frac{p-1}{6}]+1,\ldots,[\frac{p-1}{3}]\}$ el residuo de $3i$ es ciertamente $>p/2$ el primer set. A continuación, buscamos $i$ tal que $3i-p>\frac{p-1}{2}$ es decir $i>\frac{p}{2}-\frac{1}{6}$ . Pero $\frac{p}{2}-\frac{1}{6}>\frac{p-1}{2}$ por lo que sólo tenemos que calcular la cardinalidad del primer conjunto.
Para $p=12k+1$ encontramos que el primer intervalo tiene $2k$ elementos, por lo que $(-1)^{\mu}=1$ .
Para $p=12k+11$ la cardinalidad es $(4k+3)-(2k+1)$ y $(-1)^{\mu}=1$ .
Si $p=12k+5$ entonces $\mu=(4k+1)-(2k)=2k+1$ y por lo tanto $(-1)^{\mu}=-1$ .
Si $p=12k+7$ entonces $\mu=(4k+2)-(2k+1)=2k+1$ , y de nuevo $(-1)^{\mu}=-1$ .

Conclusión: el símbolo de Legendre $\bigg (\dfrac{3}{p}\bigg)$ depende de la paridad de $[\frac{p-1}{3}]-[\frac{p-1}{6}]$ .

Salvo errores, gracias.