Es este un Entramado?

Question

Por favor, considere el siguiente conjunto:

$S = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,2,3\}, \{2,3,4\}, \{1,2,3,4\} \}$

Considerar el Poset $(S,\leq)$ donde $\leq$ es la relación $a \leq b$: "a es subconjunto de b".

Es este un Entramado? Tengo una duda acerca de tratar de encontrar el cumple de $\{1,2,3\}$$\{2,3,4\}$. Parece que hay $\{2\}$ $\{3\}$ posible reúne. Pero el conocer debe ser único...

Quiero decir, sé que el conocer es la mayor cota inferior. Sin embargo en este caso me encuentro dos diferentes mayor de las cotas inferiores. Sé que el conocer es único. Sin embargo, no se puede entender realmente la situación aquí.

Gracias

Answer 1

Tiene usted toda la razón: el encuentro de dos elementos en una red debe ser único. Debe ser el mayor límite inferior, no sólo un límite inferior. Aquí, como usted dice, tanto en $\{2\}$ $\{3\}$ son cotas inferiores para el par $$\Big\{\{1,2,3\},\{2,3,4\}\Big\}\;,$$ but since neither of them is a subset of the other, neither of them is the greatest lower bound of the pair. If their intersection, $\{2,3\}$, belonged to $S$, it would be their meet, but it doesn't. If $\{3\}$ did not belong to $S$, $\{2\}$ would be their meet, and if $\{2\}$ did not belong to $S$, $\{3\}$ would be their meet. As it is, however, they have no meet, and therefore $\langle S,\le\rangle$ no es una celosía.

Tenga en cuenta que $\langle S,\le\rangle$ deja de ser un entramado por otras razones también. Por ejemplo, $\{2\}$ $\{3\}$ no tienen unirse: $\{1,2,3\}$ $\{2,3,4\}$ son ambos límites superior pero tampoco un mínimo de límite superior.

Por cierto, sospecho que el primer elemento de $S$ se supone que ser $\varnothing$, no $\{\varnothing\}$.

Answer 2

Estás en lo correcto para ser escéptico, y tienes razón en que los dos conjuntos de $\{1,2,3\}$ $\{2,3,4\}$ no tienen más límite inferior en $S$. Matt respuesta sería correcta si $S$ el poder conjunto (el conjunto de todos los subconjuntos) de $\{1,2,3,4\}$, por lo que el encuentro sería la intersección y la unión sería la unión. Por desgracia, cuando se $S$ no contiene todos los subconjuntos de, usted tiene que ser más cuidadoso. La combinación debe ser el único conjunto más pequeño en $S$ por encima o igual a la de la unión, y el encuentro debe ser el único conjunto más grande en $S$ por debajo o igual a la intersección. En este caso, como nota, $\{1,2,3\}$ $\{2,3,4\}$ no tienen ningún encontrar en $S$.