Cómo dibujar una elipse si un centro y 3 puntos arbitrarios en él se dan?

Question

Cómo dibujar una elipse si un centro y 3 puntos arbitrarios en él se dan?

Answer 1

El general centrada en 2D de la elipse de ecuación es

$$ \begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix}^\top \begin{vmatrix} C_{11} & C_{12} & 0 \\ C_{12} & C_{22} & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix} = 0 \\ C_{11} x^2 + C_{22} y^2 + 2 C_{12} x y - 1 = 0$$

El uso de los tres puntos que usted puede encontrar los tres coeficientes de $C_{11}$, $C_{22}$ y $C_{12}$. Primera forma de 3×3 en el sistema utilizando la ecuación anterior para los tres puntos $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$.

$$\begin{vmatrix} x_1^2 & y_1^2 & 2 x_1 y_1 \\x_2^2 & y_2^2 & 2 x_2 y_2 \\ x_3^2 & y_3^2 & 2 x_3 y_3 \end{vmatrix} \begin{pmatrix} C_{11} \\ C_{22} \\ C_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

El sistema anterior se resuelve fácilmente por invertir el 3×3 de la matriz.

Una vez que los coeficientes son conocidas usted puede encontrar el ángulo de inclinación de la elipse por $$ \theta = \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{2 C_{12}}{C_{22}-C_{11}} \right) $$

_{Nota: el ángulo se mide en sentido horario desde la posición horizontal}

Llegar a la semi y semi-menor ejes $a$ $b$ es un poco más complicado.

• Encontrar $\eta = C_{11} + C_{22}$
• Encontrar $\zeta = \frac{C_{22}-C_{11}}{\cos(2 \theta)}$
• Semi eje mayor $a= \sqrt{ \frac{2}{\eta - \zeta} }$
• Semi eje menor $b= \sqrt{ \frac{2}{\eta + \zeta} }$

La ecuación de la elipse es ahora

$$ \left( \frac{(b^2-a^2) \cos^2 \theta}{a^2 b^2} + \frac{1}{b^2} \right) x^2 + \left( \frac{(a^2-b^2)\cos^2\theta}{a^2 b^2} + \frac{1}{a^2} \right) y^2 + \frac{2 (a^2 - b^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2 b^2} x y - 1 = 0$$

Ejemplo

Considerar los puntos $(\sqrt{3}+1,-1)$, $(1,\sqrt{3}-1)$ y $(-1,\frac{5 \sqrt{3}}{13} + \frac{7}{13})$

Encontrar los coeficientes $$\begin{pmatrix} C_{11} \\ C_{22} \\ C_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5-2\sqrt{3}}{9} \\ \frac{2 \sqrt{3}+5}{9} \\ \frac{2}{9} \end{pmatrix} $$

Encontrar el ángulo de $$\theta = \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{12}$$

Encontrar los ejes:

• $\eta = \frac{10}{9}$
• $\zeta = \frac{8}{9}$
• $a^2 = \frac{2}{\frac{2}{9}}= 9$
• $b^2 = \frac{2}{2} = 1$

Encontrar la ecuación de la elipse

$$ \left( \frac{5}{9} - \frac{2 \sqrt{3}}{9} \right) x^2 + \left( \frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{5}{9} \right) + \frac{4}{9} x y - 1 =0 $$

Confirmar los resultados con GeoGebra:

Answer 2

Si el centro en el punto de $C$ es elegido para la elipse, se puede sacar cruzan dos elipses con centro en $C$ que se cortan en cuatro puntos. Así que si $A,B$ resultan ser dos de los cuatro puntos de la elipse no será único. Así que yo creo que puede ser que necesite más suposiciones, tal vez que la elipse es tener su eje mayor paralelo a la $x$ eje.

Acabo de ver la actualización: en El ejemplo anterior muestra que usted necesita, al menos, 5 puntos sobre la elipse para determinar.

AÑADIDO: Considere los siguientes dos elipses, ambos centrados en $(0,0)$. $$E_1:\ x^2+2y^2=3,\\ E_2:\ 2x^2+y^2=3.$$ Los cuatro puntos $$(1,1),\ (1,-1),\ (-1,1),\ (-1,-1)$$ each lie on both ellipses $E_1$ and $E_2$. Así que en general da sólo cuatro puntos y el centro de la elipse no es determinado.

Answer 3

Usted debe encontrar tres incógnitas - dos de la mitad de los ejes que describen la elipse y un ángulo para describir la orientación.

Usted debe elegir algunos ecuación que describe una elipse y escribir las ecuaciones para cada uno de los puntos. Encontrar los parámetros de la elipse a partir de ellos.

Por ejemplo, con ecuaciones paramétricas se tienen dos ecuaciones en cada punto: $$x_i=x_c+a\cos t_i \cos \varphi - b \sin t_i \sin \varphi$$ $$y_i=y_c+a\cos t_i \sin \varphi - b \sin t_i \cos \varphi$$

donde $x_i$ $y_i$ son las coordenadas de $i$-ésimo punto, $x_c$ $y_c$ son los centros de coordenadas, $t_i$ es de los parámetros de $t$ valor en el $i$-ésimo punto y $a$, $b$ y $\varphi$ son los valores desconocidos de describir la elipse y orientación. Si usted escribir estas ecuaciones, usted tendrá seis ecuaciones con seis incógnitas (tres $t_i$'s y la quería valores). Solucionable, pero no trivial. Yo estoy mostrando el enfoque no es la solución. Voy a dejar a usted para elegir la más adecuada elipse ecuaciones para empezar :)

Answer 4

Para la elipse se define de una manera única, toma un más allá de la línea de tres puntos $ax + by + c = 0$ con la excentricidad $e$ la elipse (véase la definición de elipse en ver wikipedia para más información).

Answer 5

Creo que he encontrado la respuesta, no es necesario conocer el centro, pero tienes que saber que 3 puntos en el diagrama de ustedes saben, me llamó la

una vez que usted encuentra 2 puntos adicionales por el uso de las fórmulas de encontrar las cónicas a través de 5 puntos como aquí Cónica a través de 5 puntos...

He publicado en mi blog aquí: Elíptica Pizza en Ben Paul Thurston Blog