Este es un ejercicio de los Ideales, de las Variedades y de los Algoritmos de Cox et al.
Demostrar que la tangente V de la trenzado cúbicos curva de $V(y-x^2,z-x^3)$, dado por $$x=t+u\\y=t^2+2tu\\z=t^3+3t^2u$$ is not isomorphic to $\mathbb{R}^2$.
Siguiendo sus consejos, me encontré con que $V$ es singular en todos los puntos en el trenzado cúbicos curva. Los puntos singulares son donde$f(x,y,z)=0$$\nabla f(x,y,z)=0$.
Desde aquí puedo ver $V$ no es isomorfo a $\mathbb{R}^2$ desde $V$ no es lisa, mientras que $\mathbb{R}^2$ es.
Para demostrar que, a la pista dice que considere la posibilidad de un polinomio mapa de $\alpha: \mathbb{R}^2\rightarrow V$ tal que $\alpha(a,b)$ está en el trenzado cúbicos curva. Entonces la derivada de la matriz de $\alpha$ debe tener rango estrictamente menor que $2$$(a,b)$.
Mi pregunta: Con esta asignación, se debe tener la superficie definida por $$f(\alpha(u,v))=0$$
Por lo $\nabla f \cdot \alpha'$ es el gradiente de la superficie en $u,v$. ¿No debería esto ser cero? Y $\nabla f$ es cero en $(a,b)$ ya que es singular en el trenzado cúbicos. ¿Cómo decir que el rango de la derivada de la matriz?
Gracias por la ayuda!