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Demostrar que la tangente de la superficie de la trenzado cúbicos curva de $V(y-x^2,z-x^3)$ no es isomorfo a $\mathbb{R}^2$.

Este es un ejercicio de los Ideales, de las Variedades y de los Algoritmos de Cox et al.

Demostrar que la tangente V de la trenzado cúbicos curva de $V(y-x^2,z-x^3)$, dado por $$x=t+u\\y=t^2+2tu\\z=t^3+3t^2u$$ is not isomorphic to $\mathbb{R}^2$.

Siguiendo sus consejos, me encontré con que $V$ es singular en todos los puntos en el trenzado cúbicos curva. Los puntos singulares son donde$f(x,y,z)=0$$\nabla f(x,y,z)=0$.

Desde aquí puedo ver $V$ no es isomorfo a $\mathbb{R}^2$ desde $V$ no es lisa, mientras que $\mathbb{R}^2$ es.

Para demostrar que, a la pista dice que considere la posibilidad de un polinomio mapa de $\alpha: \mathbb{R}^2\rightarrow V$ tal que $\alpha(a,b)$ está en el trenzado cúbicos curva. Entonces la derivada de la matriz de $\alpha$ debe tener rango estrictamente menor que $2$$(a,b)$.

Mi pregunta: Con esta asignación, se debe tener la superficie definida por $$f(\alpha(u,v))=0$$

Por lo $\nabla f \cdot \alpha'$ es el gradiente de la superficie en $u,v$. ¿No debería esto ser cero? Y $\nabla f$ es cero en $(a,b)$ ya que es singular en el trenzado cúbicos. ¿Cómo decir que el rango de la derivada de la matriz?

Gracias por la ayuda!

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Greg Elin Puntos 206

Por fin he encontrado una solución a este problema. Pero todavía tengo un poco de duda en mi solución. Estaré agradecido si alguien pudiera explicarlo.

Deje $\alpha$ ser definido el mapa. Es una parametrización de la superficie de la $V$. Así que la derivada vectores $\vec{\alpha}_u$ $\vec{\alpha}_v$ representa su tangente de las direcciones, y $\vec{\alpha}_u\times \vec{\alpha}_v$ es la dirección normal, la cual es paralela a la pendiente de $f$.

En los puntos singulares, donde $(u,v)=(a,b)$, la pendiente es cero. Por lo tanto el producto cruzado de $\vec{\alpha}_u$ $\vec{\alpha}_v$ es cero. Esto implica que los dos tangencial vectores son paralelos. Así que la derivada de la matriz de $\alpha$ tiene rango menor que $2$.

Ahora supongamos $\beta: V\rightarrow \mathbb{R}^2$ es un polinomio inverso mapa. A continuación, $\beta\circ \alpha$ es el mapa de identidad en $\mathbb{R}^2$. La derivada de la matriz de este mapa debe ser la $2\times 2$ la identidad, la cual es una contradicción.

Creo que esta prueba es completa. Mi duda (de un lado el pensamiento) es, $\alpha\circ \beta$ es el mapa de identidad en $V$. ¿Por qué su derivado de la matriz no necesita identidad? Incluso cuando $\alpha$ no es de rango deficiente, que sólo puede tener rango $2$. Es a causa de $V$ es una superficie 2D? No estoy seguro de que este tema está cubierto, tal vez la geometría diferencial?

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