acerca de la débil derivados ( Espacios de Sobolev )

Question

el siguiente afirmation es cierto ?

Considere la posibilidad de $\Omega$ claramente delimitado y suave de dominio . Deje $u \in W^{1,p} ( \Omega)$ ( p>1). Supongamos que $u \geq 0$. deje $\alpha >1$ . A continuación, $\nabla u ^{\alpha} = \alpha u^{\alpha -1} \nabla u$ ( en sentido débil ). Si este hecho es cierto, su me va a ayudar mucho ..

Gracias (mi inglés es terrible ,lo siento)

Answer 1

Deje $\Omega=B_1(0)\subset\mathbb{R}^4$ y definen $u(x)=\frac{1}{|x|}$$\Omega$.Esto implica que $|\nabla u(x)|=\frac{1}{|x|^2}$. Deje $p>1$ y vamos a calcular el $\displaystyle\int_\Omega\frac{1}{|x|^{2p}}dx$. Escribir $x=r\omega$ donde$r\in (0,1)$$|\omega|=1$. Tenga en cuenta que $$\begin{eqnarray} \int_\Omega \frac{1}{|x|^{2p}}dx &=& \int_0^1\int_{S_1(0)}\frac{r^3}{r^{2p}}d\omega dr = C \, \int_0^1 r^{3-2\,p} \, d r\nonumber \\ \end{eqnarray}$$

donde $S_1(0)$ es el límite de $B_1(0)$$C>0$. A partir de la última igualdad tenemos que para $p\in (1,2)$, $u\in W^{1,p}(\Omega)$. Por otro lado, $u^q$ no pertenece a $L_{loc}^1(\Omega)$$q \ge 4$, por lo que es una tontería hablar de que es débil derivados.

Answer 2

Si $u \in C^\infty(\Omega)$, su afirmación se sostiene.

Afirman que $W^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^{p'/(\alpha-1)}(\Omega)$ $1/p + 1/p' = 1$ (en este caso es necesario con el fin de que $u^{\alpha-1} \, \nabla u \in L^1(\Omega)$). Ahora, vamos a $u \in W^{1,p}(\Omega)$ dado y $u_n \to u$ $W^{1,p}(\Omega)$ algunos $u_n \in C^\infty$. Para cualquier función de prueba de $v \in C_0^\infty(\Omega)$ $$\int_\Omega u^\alpha \, \nabla v \, \mathrm{d} x \leftarrow \int_\Omega u_n^\alpha \, \nabla v \, \mathrm{d} x = -\int_\Omega \alpha u_n^{\alpha-1} \, \nabla u_n \ v \, \mathrm{d} x \a -\int_\Omega \alpha u^{\alpha-1} \, \nabla u \ v \, \mathrm{d} x,$$ desde $u_n \to u$$L^{p'/(\alpha-1)}(\Omega)$, por lo tanto $u_n^{\alpha-1} \to u^{\alpha-1}$$L^{p'}(\Omega)$$u_n^\alpha \to u^\alpha$$L^1(\Omega)$$u_n^{\alpha-1} \, \nabla u_n \to u^{\alpha-1} \, \nabla u$$L^1(\Omega)$.

Esto demuestra que su afirmación se aplica a todos los $u \in W^{1,p}(\Omega)$.