Dado un número complejo $z$ que $|z-2-i|=2\sqrt{2}$ . Encuentre el máximo y el mínimo de $H=|z+3-2i|+|z-3+4i|$ .
El mínimo es fácil de encontrar: $H=|z+3-2i|+|z-3+4i| \geq|z+3-2i-z+3-4i|=6\sqrt{2}$
Estoy luchando con el máximo. Lleva a encontrar el máximo de $\sqrt{(a+3)^2+(b-2)^2}+\sqrt{(a-3)^2+(b+4)^2}$ dado $(a-2)^2+(b-1)^2=8$ .
Los he dibujado en el plano de coordenadas. Sea $A(-3,2), B(3,-4)$ , tenemos que encontrar la pinta $M$ sobre el círculo $(x-2)^2+(y-1)^2=8$ tal que $MA+MB$ alcanza su mínimo o su máximo. 
Entonces percibo que cuando M se encuentra en $C$ y $E$ , $MA+MB$ alcanza su mínimo y su máximo respectivamente. (Sorprendentemente, $C$ es el punto de tangencia).
Pero no puedo dar la prueba rigurosa de ello ni analítica ni geométricamente. ¡Espero que su amable ayuda!
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Bonita foto. MA+MB=2c es la ecuación de una elipse con focos en A y B y eje a lo largo de AB y EC.
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Si escalas la imagen por un factor $1/\sqrt 2$ y girarlo para que $A$ , $B$ se encuentran en el $X$ -eje, AEC se convierte en un $3-4-5$ triángulo rectángulo, y el círculo es más fácil de parametrizar como $\{(2\sin\theta, 2(1+\cos\theta)),\theta\in[0,2\pi]\}$ . También se pueden utilizar los multiplicadores de Lagrange.