Lo Möbius transformación mapas del círculo unidad $\{z: |z|=1\}$ al eje real?

Question

Se puede determinar una transformación de Möbius que los mapas círculo unidad $\{z: |z|=1\} \rightarrow$ eje real. I. e., cómo iba a encontrar uno? Sería esta transformación se determina únicamente?

Las transformaciones de Möbius son los mapas de la forma: $$ f(z)= \frac{az+b}{cz+d}.$$

Answer 1

Intente enviar de $1$$0$$-1$%#%: $$ \frac{z-1}{z+1}\etiqueta{1} $$ Calcular la parte real de la $\infty$: $$ \begin{align} \frac12\left(\frac{z-1}{z+1}-\frac{\bar{z}-1}{\bar{z}+1}\right) &=\frac12\frac{(z\bar{z}+(z-\bar{z})-1)+(z\bar{z}-(z-\bar{z})-1)}{|z+1|}\\ &=\frac{|z|^2-1}{|z+1|}\tag{2} \end{align} $$ Por lo tanto, si $(1)$, $|z|=1$ dice que $(2)$; es decir, $\mathrm{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=0$ envía el círculo unitario para el eje imaginario. Por lo tanto, $$ i\frac{z-1}{z+1}\etiqueta{3} $$ envía el círculo unitario para el eje real.

Answer 2

Dos importantes hechos básicos acerca de Möbius funciones:

• Elige tres puntos distintos ($\infty$ es permitido). Cualquier función de Möbius está totalmente determinado por su acción sobre los tres puntos. Por el contrario, si usted toma cualquier acción sobre los tres puntos (que sería enviarlos a distintas imágenes), que se puede extender a una función de Möbius.
• Möbius funciones de mapa de líneas y círculos con líneas y círculos.

Un útil geométricas hecho es:

• cualquier tres puntos distintos determinan una única línea o un círculo.

Answer 3

sugerencia:

Trate de encontrar una transformación de Möbius que envía

$1$ a $0$ , $i$ a $ 1$ $-1$ $\infty$

Möbius transformación de tres puntos $z_1$, $z_2$, $z_3$ está dada por la siguiente fórmula

$$\frac{z-z_1}{z-z_3}\cdot \frac{z_2-z_3}{z_2-z_1}$$

en este caso $z_1= 1$, $z_2 =i$, $z_3=-1$