Demostrar que $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{23n+2}{4n+1}\right) = \frac{23}{4} $ .

Question

Mi intento:

Demostramos que $$\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{23n+2}{4n+1}\right) = \frac{23}{4} $$

Basta con demostrar que para un número real arbitrario $\epsilon\gt0$ Hay un $K$ tal que para todo $n\gt K$ , $$\left| \frac{23n+2}{4n+1} - \frac{23}{4} \right| < \epsilon. $$

Tenga en cuenta que $$ \displaystyle\left| \frac{23n+2}{4n+1} - \frac{23}{4} \right| = \left| \frac{-15}{16n+4} \right| $$ y para $ n > 1 $ $$ \displaystyle \left| \frac{-15}{16n+4} \right| = \frac{15}{16n+4} < \frac{1}{n}. $$

Supongamos que $ \epsilon \in \textbf{R} $ y $ \epsilon > 0 $ . Considere $ K = \displaystyle \frac{1}{\epsilon} $ . Permitir que $ n > K $ . Entonces $ n > \displaystyle \frac{1}{\epsilon} $ . Así que $ \epsilon >\displaystyle \frac{1}{n} $ . Así,

$$ \displaystyle\left| \frac{23n+2}{4n+1} - \frac{23}{4} \right| = \left| \frac{-15}{16n+4} \right| = \frac{15}{16n+4} < \frac{1}{n} < \epsilon. $$ Así, $$ \displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{23n+2}{4n+1}\right) = \frac{23}{4}. $$

¿Esta prueba es correcta? ¿Cuáles son otras formas de demostrarlo? Gracias.

Answer 1

$\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{n(23 + \frac{2}{n})}{n(4+\frac{1}{n})} = \cdots$

Utilice el hecho de que $\frac{\alpha}{n}$ tiende a $0$ cuando $n$ tiende a infinito, y teoremas de límites de secuencias.

Answer 2

Tu prueba es básicamente correcta, pero te animaría a practicar un poco la articulación exactamente lo que quieres decir. Donde dice

Basta con demostrar que $$\left| \frac{23n+2}{4n+1} - \frac{23}{4} \right| < \epsilon $$

quieres decir algo como

Basta con demostrar que para todo $\epsilon\gt0$ Hay un $K$ tal que para todo $n\gt K$ , $$\left| \frac{23n+2}{4n+1} - \frac{23}{4} \right| < \epsilon $$

Tal como está, el $\epsilon$ sale de la nada y no hay ninguna restricción declarada en $n$ Por lo tanto, la desigualdad que es "suficiente" para mostrar podría ser trivialmente verdadera o patentemente falsa.

Answer 3

¿Esta prueba es correcta? ¿Cuáles son otras formas de demostrarlo? Gracias.

Su prueba es correcta con la salvedad de que se precisa un poco más lo que $\epsilon$ y $K$ medio. Otra forma de demostrarlo es utilizando la regla de l'Hôpital. Sea $f(n)=23n+2$ , $g(n)=4n+1$ entonces podemos ver que $$ \lim_{n\rightarrow\infty} f(n) = \lim_{n\rightarrow\infty} g(n) = \infty $$

En este caso, la regla se aplica porque tiene una "forma indeterminada" de $\infty/\infty$ . Entonces la regla es que

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f'(n)}{g'(n)} $$

Lo único que queda es evaluar $f'(n)=23$ , $g'(n)=4$ , $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{23}{4} = \frac{23}{4} $$