Cálculo de las coordenadas de un punto en una circunferencia de círculos desde el radio, un origen y el arco entre los puntos

Question

Tenemos un círculo con el radio de $r$ y la circunferencia $2\pi r$, y sabemos que un punto de $P_1$ en algún lugar en la circunferencia. Ahora, queremos obtener las coordenadas $[x_{P_2},y_{P_2}]$ de el punto de $P_2$. Sabemos que el arco entre $P_1$ $P_2$ $d = \frac{2\pi r}{x}$ donde $x$ es conocido y $\geq 1$.

Como cuestión de hecho, por el conocimiento de $d$ sabemos que el ángulo desde el centro entre el$P_1$$P_2$, pero soy incapaz de encontrar una fórmula para hacerme con las coordenadas correctas de $P_2$ para cualquier combinación de los más conocidos $P_1$, $r$ y $d$.

Answer 1

Deje que las coordenadas de$P_1$ sean$(x_{P_1},y_{P_1})$. Deje que el ángulo entre los puntos$P_1$ y$P_2$ sea$\theta$. Luego del arco$d$ obtienes,$\theta=d/r=\frac{2\pi}{x}$. Entonces, ahora tenemos $$ x_ {P_2} = x_ {P_1} + r \ sin {\ theta}; \ \\ y_ {P_2} = y_ {P_1} -r (1- \ cos {\ theta}) $$.

Answer 2

Si conoces $\Delta\theta$, el ángulo entre los dos puntos, y usted sabe $\theta _1$, el ángulo de $P_1$, usted puede encontrar $\theta_2$$\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2$. De la trigonometría, sabemos que $\theta_1$ está relacionado con el por $y_1$ por la función seno, es decir,$\sin{\theta_1} = \frac{y_1}{r}$, donde r es el radio. Por lo tanto, podemos resolver para$\theta_1$, y luego encontrar a $\theta_2$. A partir de ahí podemos utilizar la función coseno para encontrar $x_2$ y la función seno para encontrar $y_2$.

Answer 3

$$ x_{p2}=x_{p1} + r \cos \frac{{2 \pi}}{x}, y_{p2}=y_{p1} + r \sin \frac{{2 \pi}}{x} $$