Plano medio superior$\overline{\mathbb{H}}$ con dos pinchazos de límite

Question

Considere la posibilidad de $\overline{\mathbb H}$ con dos punción $P_1$ $P_2$ sobre la línea real, con coordenadas $z = x_1$$z = x_2$, respectivamente. Considere la posibilidad de otra copia de $\overline{\mathbb H}$ con dos pinchazos $P_1$ $P_2$ sobre la línea real, con coordenadas $z = x_1'$$z = x_2'$, respectivamente. Son estos dos superficies de la misma superficie de Riemann?

Idea. Sospecho que son, y sería suficiente para exhibir el mapa de conformación que adopta la pinchazos en cada uno de los otros, mientras que la preservación $\overline{\mathbb H}$. Pero no estoy seguro de cómo hacer esto, podría alguien ayudar?

Answer 1

Las dos superficies son las mismas superficies de Riemann. El mapa de conformación que adopta la pinchazos en cada uno de los otros, mientras que la preservación $\overline{\mathbb H}$ depende de si $(x_2' - x_1')/(x_2 - x_1)$ es positivo o negativo.

Si $(x_2' - x_1')/(x_2 - x_1) > 0$, el mapa está dada por$${{z' - x_1'}\over{z' - x_1'}} = {{z - x_1}\over{z - x_2}}.$$Using cross multiplication, we can see this has the form of a linear fractional transformation. Solving for $z'$,$$z' = {{(x_1' - x_2')z + (x_2' x_1 - x_1'x_2)}\over{x_1 - x_2}}.$$$\overline{\mathbb {H}}$ se conserva si $ad - bc > 0$. Es decir, si $(x_2' - x_1')(x_2 - x_1) > 0$. Esto es cierto siempre que $(x_2' - x_1')/(x_2 - x_1) > 0$ porque $(x_2 - x_1)^2$ es positivo. Tenemos que $(x_2' - x_1')/(x_2 - x_1) > 0$ era cierto, por supuesto.

Si $(x_2' - x_1')/(x_2 - x_1) < 0$, el mapa está dada por$${{z' - x_1'}\over{z' - x_1'}} = -{{z - x_1}\over{z - x_2}}.$$Solving for $z'$,$$z' = {{(x_1' + x_2')z - (x_2'x_1 - x_1'x_2)}\over{2z - (x_1 + x_2)}}.$$$\overline{\mathbb{H}}$ se conserva si $ad - bc > 0$. Es decir, si $-(x_2' + x_1')(x_2 + x_1) + (x_2'x_1 - x_1'x_2)(2) >0$, que se simplifica a $(x_1 - x_2)(x_2' - x_1') > 0$. Esto es cierto siempre que $(x_2' - x_1')/(x_2 - x_1) < 0$, e $(x_2' - x_1')/(x_2 - x_1) < 0$ era cierto, por supuesto.

Geométricamente, $(x_2' - x_1')/(x_2 - x_1) > 0$ significa que el orden de los pinchazos se conserva mientras se $(x_2' - x_1')/(x_2 - x_1) >0$ significa que el orden se invierte.

Answer 2

Es suficiente considerar el caso$x_1^{\prime}=0, x_2^{\prime}=\infty$. Si es$x_1>x_2\in \mathbb{R}$, el mapa$$ z\mapsto \frac{z-x_1}{z-x_2} $ $ envía$x_1$ a$0$ y$x_2$ a$\infty$, y es conforme porque el determinante de la matriz correspondiente es $x_1-x_2>0$. Y como$$ \Im\frac{z-x_1}{z-x_2}=\frac{(x_1-x_2)\Im z}{|z-x_2|^2}$ $ se deduce que el mapa envía$\mathbb{H}$ a sí mismo y$\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ a sí mismo.

Si, por ejemplo,$x_2=\infty$, entonces el mapa$z\mapsto z-x_1$ envía$x_1$ a$0$ y$x_2$ a$\infty$, y claramente conserva$\mathbb{H}$ y$\mathbb{R}\cup\{\infty\}$.