Si$f\in C^{\infty}_c(\mathbb{R})$ se admite en el intervalo$[-R, R]$, entonces, mediante el teorema fundamental del cálculo, se puede demostrar que$$ \lVert f\rVert_{L^2(\mathbb{R})}\le 2R\left\lVert\frac{df}{dx}\right\rVert_{L^2(\mathbb{R})}.$ $ El teorema de Plancherel convierte esta desigualdad en lo siguiente:$$ \tag{1}\left\lVert \widehat{f}\right\rVert_{L^2(\mathbb{R})} \le 2R\left\lVert \xi \widehat{f}(\xi)\right\rVert_{L^2_\xi(\mathbb{R})}.$ $ ¿Hay una manera de probar (1) trabajando puramente en el espacio de frecuencias, evitando el teorema fundamental del cálculo? (Creo que tal prueba podría generalizarse fácilmente para probar las irregularidades, como$$\lVert \hat{f}\rVert_{L^2(\mathbb{R})}\le C_{R,s}\left\lVert \lvert \xi \rvert^s\widehat{f}(\xi)\right\rVert_{L^2_\xi(\mathbb{R})},$ $ donde$s>0$.)
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Como BaronVT notas, con el fin de hacer algo en el espacio de frecuencia, uno tiene que traducir la condición de $\operatorname{supp}f\subseteq [-R,R]$ no. Esto es lo que los diversos incertidumbre de las desigualdades hacer. El clásico de Heisenberg-Pauli-Weyl incertidumbre de la desigualdad $$ \|x f(x)\|_{L^2}\, \| \xi \widehat f(\xi)\|_{L^2} \ge \frac{1}{4\pi}\|f\|_{L^2}^2\tag{HPW}$$ inmediatamente se da (1) por $\|xf(x)\|_{L^2}\le R\|f\|_{L^2}$ debajo de su asunción. Con el fin de manejar fracciones de $s$ uno necesita una generalización de (HPW), $$ \||x|^s f(x)\|_{L^2}\, \| |\xi|^s \widehat f(\xi)\|_{L^2} \ge C(s)\,\|f\|_{L^2}^2\tag{H}$$ La desigualdad (H) es una consecuencia de Hirschman de la entropía de la desigualdad (demostrado aquí). Desde $\||x|^sf(x)\|_{L^2}\le R^s\|f\|_{L^2}$, se deduce que $$ \| |\xi|^s \widehat f(\xi)\|_{L^2} \ge C(s) R^{-s}\|f\|_{L^2}$$ como usted quería.
¿Por qué solo trabajar en el espacio de frecuencias? El hecho clave es que, en el espacio físico , la función es compatible de manera compacta, por lo que debe traducirla en una condición en$\widehat f$ con la que puede trabajar, o simplemente comenzar desde$f$ para comenzar.
Pero, solo puede iterar su primera declaración para obtener $$ \ lVert f \ rVert \ leq (2R) ^ s \ left \ lVert \ frac {d ^ sf} {dx ^ s} \ right \ rVert $$ para que$C_{R,s} = (2R)^s$.
