¿Cómo puedo mostrar que $\int_0^1 f^2(x)dx > \frac{1}{6}$ , donde $f(x)$ es continuo para $x\in[0,\infty)$ y $f(f(x)) = x^2$ ?
Descubrí que $f(x^2)=f(f(f(x)))=f^2(x)$ luego $\int_0^1f^2(x)dx = \int_0^1f(x^2)dx$ , pero no sé qué hacer a continuación.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se puede probar que el si $f:[0,\infty)\mapsto [0,\infty)$ es continua y $f(f(x))=x^2$, a continuación, $f(x)$ es limitada (no estrictamente) entre $x$ e $x^2$ para todos los $x\in (0,1)$. No voy a probar este rigurosamente aquí, y la deja como un ejercicio (que puede ser hecho usando el requisito de continuidad y la generalizada del teorema del valor intermedio para los dos curvas).
Esto demuestra que $f^2(x)$ entre $x^2$ e $x^4$, y que $\int_0^1 f^2(x)dx\ge \int_0^1 x^4=1/5\gt 1/6$.
MÁS DETALLES DE LA PRUEBA:
Desde $f(f(x))=x^2$ es inyectiva, $f(x)$ debe ser inyectiva, y por lo tanto, estrictamente creciente o estrictamente decreciente; voy a dejar de descartar el último caso.
Supongo que va en aumento. Si $f(x)\gt x$ para algunos $x\in (0,1)$, a continuación, $f(f(x))\gt f(x)$ e $x^2\gt f(x)\gt x$ lo cual es imposible. Si $f(x)\lt x^2$ para algunos $x\in (0,1)$, a continuación, $f(x)\lt f(f(x))$ e $x\lt f(x)\lt x^2$ lo cual es imposible. Por lo tanto $x^2\le f(x)\le x$.
