Encuentre todas las soluciones en una ecuación con permutaciones en$S_{10}$

Question

Deje que $\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 2 & 9 & 5 & 7 & 10 & 3 & 4 & 6 & 1 & 8\end{pmatrix} \S_{10}.$

Encuentra todas las permutaciones $\tau \in S_{10}$ donde $\tau^3 = \sigma.$

Mi primera intuición fue multiplicar la ecuación con $\sigma^{-1}$ por lo que se vería así: $\tau^3 \sigma^{-1} = \sigma\sigma^{-1}$, lo que resultaría en $\tau^3 \sigma^{-1} =e$.

No estoy seguro de cómo avanzar a partir de aquí. Sé cómo calcular el orden de $\sigma$, el número de sus inversiones y la firma, pero no sé cómo iba a utilizar esa información para resolver este problema.

Answer 1

La presencia de una sola $3$-ciclo de trabajo en $\sigma=(1,2,9)(4,7)(3,5,10,8,6)$ mata toda esperanza de solución a $\tau^3=\sigma$.

• Vemos que $\operatorname{ord}(\sigma)=\operatorname{lcm}\{3,5,2\}=30$.
• Recordar el hecho básico (a partir de la teoría de grupos cíclicos): si $c$ tiene orden de $n$, a continuación, $c^k$ tiene orden de $n/\gcd(n,k)$. Así que si $\tau$ tiene orden de $m$, entonces tenemos que tener en $m/\gcd(m,3)=30$ lo que implica $m=90$.
• Pero no hay ningún elemento de orden $90$ en $S_{10}$. El más pequeño del grupo simétrico con elementos de orden $90$ es $S_{16}$ donde hay espacio para una permutación de tipo de ciclo $(9,5,2)$.
• Un argumento diferente woud ser observar que $\tau^{10}$ habría pedido $9$, lo que significa que $\tau^{10}$ debe ser un $9$-ciclo. Esto implicaría que $\tau^{30}$ es un producto de tres discontinuo $3$-ciclos. Pero, $\tau^3=\sigma$ implica que $\tau^{30}=\sigma^{10}=(129)$, una sola $3$-ciclo. Esta es una contradicción.

La conclusión es que el cubo de una permutación $\tau\in S_n$, no importa lo $n$ es, no puede tener una sola $3$-ciclo en su ciclo de descomposición. El análogo resultado es válido para todos los números primos $p$: $p$th poder de una permutación no puede tener una sola $p$-ciclo (el número de $p$-ciclos en un $p$th el poder debe ser un múltiplo de $p$).

Answer 2

Aquí es mucho más peatonal enfoque:

Supongamos que hay algunos $r$ tal que $r^3 = \sigma$.

Tenga en cuenta que $\sigma$ puede ser escrito de forma exclusiva (modulo orden) $\sigma = a b c$, donde $a,b,c$ son ciclos disjuntos de longitud $2,3,5$ respectivamente. En particular, $\sigma$ contiene un ciclo de longitud $3$.

Deje $r=d_1...d_m$, donde $d_k$ son ciclos disjuntos. Por lo tanto $r^3 = d_1^3 ... d_m^3$

Algunos trabajos muestran que si $d$ es un ciclo de longitud $l(d)$, a continuación, $d^3$le han (posiblemente varias) ciclos de longitud:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline l(d)& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline l(d^3) & 1 & 2 & 1 & 4 & 5 & 2 & 7 & 8 & 3 & 10 \\ \hline \end{array}$$

Por lo tanto, uno de los $d_i$ debe tener la longitud de $9$ y, por tanto, los otros deben ser trivial, pero este es una contradicción.

Por lo tanto, no hay tal $r$.

Answer 3

$\tau^3=\sigma \implies \tau^{90}=e$, desde el $|\sigma|=30$. Por lo $|\tau|\mid 90$.

De ello se desprende que el ciclo de descomposición de $\tau$ sólo puede consistir en ciclos de longitud (orden) dividiendo $90$; por lo tanto, de la longitud de la $1,2,3,5,6,9$ o $10$.

Ninguno de estos le da un $3$ciclo de cuando en cubos. El cubo de un $2$ ciclo es otra de las $2$ ciclo. El cubo de un $3$ ciclo $e$. El cubo de un $5$ ciclo es otra de las $5$ ciclo. El cubo de un $6$ ciclo es un producto de tres $2$ de los ciclos. El cubo de un $9$ciclo es el producto de tres $3$-ciclos. Finalmente, el cubo de un $10$ ciclo es otra de las $10$ ciclo.

Pero $\sigma =(129)(351086)(47)$.

Así que no hay soluciones.