¿Cómo pruebo que dos ecuaciones en coordenadas cartesianas y polares son equivalentes?

Question

Me piden que verifique que el conjunto de puntos descritos por la ecuación cartesiana $$(x-1)^2 + y^2 = 1$$ is equal to the set of points described by the polar equation $$r = 2 \cos{\theta}, \cos{\theta} > 0$$ Claramente el punto descrito por $(0,0)$ bajo el sistema de coordenadas Cartesianas es un elemento del primer conjunto, desde la $(0-1)^2 + 0^2 = 1$. Sin embargo, este punto corresponde a las coordenadas polares de la forma $(0, \theta)$, para arbitrario $\theta$, pero $0 = 2\cos{\theta} \iff \cos{\theta} = 0 \iff \theta=\frac{\pi}{2} + n\pi$; así que hay un montón de pares de $(r, \theta)$ que hacer satisfacer la segunda condición, pero hay un montón de parejas que no. ¿Sólo tengo que demostrar que existe al menos a un par en el segundo set? ¿Cómo puedo pensar en problemas como este de manera formal, y lo que sería una prueba formal de este aspecto?

Deje $(x, y)$ tal que $(x-1)^2 + y^2 = 1$. El par $(r, \theta)$ que corresponde a $(x, y)$ satisface $x = r\cos{\theta}$, $y = r\sin{\theta}$. Debemos mostrar que tal un par también satisface $r = 2\cos{\theta}$.

Si $r \neq 0$, $1 = (x-1)^2 + y^2 \iff 1 = (r\cos{\theta} - 1)^2 + (r\sin{\theta})^2 \iff 0 = r^2 - 2r\cos{\theta} \iff r = 2\cos{\theta}$.

Mi problema es con el caso de $r=0$. Es el argumento de abajo formal suficiente?

Si $r = 0$, entonces debemos tener la $x = r\cos{\theta} = 0$, $y = r\sin{\theta} = 0$. El par $(0, \frac{\pi}{2})$ en coordenadas polares satisface $r = 2\cos{\theta}$, y por lo que el origen está también contenida en el segundo set.

Answer 1

En $\mathbb{R}^2$ puede formalmente pasar de coordenadas Cartesianas a coordenadas polares de esta manera: $$\begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta. \end{casos} $$ Por supuesto, debo especificar más acerca de $\rho$ e $\theta$, por ahora $\rho \geq 0$ e $\theta \in [0,2\pi)$. Tenga en cuenta que $$\begin{cases} \mathrm{d}x = \cos \theta \,\mathrm{d}\rho -\rho\sin \theta \,\mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}y = \sin \theta \,\mathrm{d}\rho + \rho \cos \theta \,\mathrm{d}\theta, \end{casos}$$por lo tanto \begin{align} \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y & = (\cos \theta \,\mathrm{d}\rho -\rho\sin \theta \,\mathrm{d}\theta) \wedge (\sin \theta \,\mathrm{d}\rho + \rho \cos \theta \,\mathrm{d}\theta) \\ & = \rho \,\mathrm{d}\rho \wedge \mathrm{d}\theta. \end{align} Por lo tanto, la transformación es singular cuando se $\rho = 0$. También, la inversión de las ecuaciones anteriores se obtiene $$ \begin{cases} \rho^2 = x^2+y^2 \\ \tan \theta = y/x, \end{casos} $$ así que cuando $\theta = \pi/2+k\pi$, donde $k$ es un número entero, la transformación inversa no está definido. Esta es la razón por la que uno normalmente se restringe a las condiciones de $\rho > 0$ e $\theta \neq \pi/2 +k\pi$. De esta manera la transformación de coordenadas es invertible.

Ahora el uso de este cambio de coordenadas la ecuación $(x-1)^2+y^2 = 1 $ se convierte en \begin{align} (\rho \cos \theta-1)^2+\rho^2\sin^2\theta -1 & = 0 \\ \rho^2-2\rho\cos \theta& = 0 \\ \rho(\rho-2\cos \theta)&=0, \end{align} lo que implica $\rho = 2\cos \theta$, debido a $\rho \neq 0$. En realidad $\rho > 0$, lo que implica $\cos \theta > 0$. Esta es la forma de ir de un grupo a otro, cuando la transformación es invertible, sino $\rho = 0$ es también una solución de $\rho(\rho-2\cos \theta)=0$, por lo tanto sólo el estudio de este caso por su propia cuenta. Es trivial, debido a que $\rho = 0$ corresponde al origen $(x,y) = (0,0)$.

Answer 2

Tenga en cuenta que su círculo original (en coordenadas Cartesianas) es un círculo centrado en $(1,0)$ radio $1$. Así que el círculo está en los cuadrantes 1 y 4. Por lo $\theta$ debe estar en el intervalo de $[-\pi/2,\pi/2]$. De lo contrario, usted sólo tiene que ir sobre el circulo una y otra vez. Usted podría también he notado que se le dio a$\cos\theta\gt 0$, por lo que también refrenar sus soluciones.

La manera en que tienden a acercarse a este problema es utilizar explícitamente $x=r\cos\theta$ e $y=r\sin\theta$ en la primera ecuación en el lado izquierdo. Si usted consigue $1$, entonces la prueba se realiza.

Answer 3

Los conjuntos no son iguales.

El punto de $(0, 0) \in \mathbb{R}^2$ es en su primera serie de puntos, pero no en el segundo. Prueba: si $x = y = 0$, a continuación, $r = 0$, y desde la segunda ecuación dice $r = 2 \cos \theta$, entonces tenemos que tener en $\cos \theta = 0$, la violación de la restricción de que el $\cos \theta > 0$.

Dicho esto, usted probablemente significaba $\cos \theta \geq 0$, así que vamos a suponer que.

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Como usted ha dicho, usted tiene que demostrar que el conjunto de puntos descritos por una ecuación es igual al conjunto de los puntos descritos por otra ecuación. Así que usted tiene que probar la igualdad de dos conjuntos. Hay una super forma estándar de hacerlo con rigor: para demostrar que dos conjuntos de $A$ e $B$ son iguales, demostrar que $A \subseteq B$ e $B \subseteq A$.

Así que vamos a tomar su ejemplo y tratar de resolverlo con rigor. Vamos a empezar a definir los dos conjuntos.

$$A = \{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; : \; (x - 1)^2 + y^2 = 1 \, \}$$

$$B = \{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; : \; \exists \, r,\theta \in [0,\infty) \; x = r \cos \theta \, \wedge y = r \sin \theta \, \wedge r = 2 \cos \theta \, \wedge \cos \theta \geq 0 \, \}$$

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Parte 1: $A \subseteq B$

Deje $(x,y) \in A$. Tenemos que demostrar que el $(x,y) \in B$. Por definición de $B$ esto sucede si y sólo si existe $r,\theta \in [0,\infty)$ la satisfacción de las siguientes cuatro propiedades simultáneamente:

$$x = r \cos \theta$$ $$y = r \sin \theta$$ $$r = 2 \cos \theta$$ $$\cos \theta \geq 0$$

Si podemos mostrar cómo construir $r, \theta$ basado en el $x, y$ estamos hecho.

Nuestra intuición dice que probablemente deberíamos tratar de $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ e $\theta = \text{atan2}(y,x)$. Nota, si usted no está familiarizado con atan2, es un mejor $\arctan$. Usted podría haber pensado de $\theta = \arctan(\dfrac{y}{x})$, pero que tendría la molestia de tratar con $x = 0$ de manera diferente. En su lugar, atan2 es mucho mejor porque es sólo indefinido para $x = 0$ e $y = 0$, para cuyo caso se deberá elegir explícitamente $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ (la razón, quedará claro más adelante). Vamos a ver si funciona:

La comprobación de la propiedad 1:

$$x = r \cos \theta$$

Si $x = y = 0$, esto es debido a que $0 = 0 \cos \dfrac{\pi}{2}$. De lo contrario, esto es debido a que $x = \sqrt{x^2 + y^2} \cos \text{atan2}(y,x)$ es un conocido de transformación entre las coordenadas (puedes probarlo de forma explícita si se quiere, pero que sería algún trabajo extra).

La comprobación de la propiedad 2:

$$y = r \sin \theta$$

Si $x = y = 0$, esto es debido a que $0 = 0 \sin \dfrac{\pi}{2}$. De lo contrario, esto es debido a que $y = \sqrt{x^2 + y^2} \sin \text{atan2}(y,x)$ es un conocido de transformación entre las coordenadas (puedes probarlo de forma explícita si se quiere, pero que sería algún trabajo extra).

La comprobación de la propiedad 3:

Esto no es tan inmediata. ¿Qué sabemos acerca de $x, y$ ? Sabemos que $(x,y) \in A$ por lo tanto sabemos que $(x - 1)^2 + y^2 = 1$. Por lo tanto, el siguiente también es cierto:

$$(r \cos \theta - 1)^2 + (r \sin \theta)^2 = 1$$ $$\iff r^2 - 2r \cos \theta + 1 = 1$$ $$\iff r^2 = 2r \cos \theta$$ $$\iff r = 0 \vee r = 2 \cos \theta$$

Queríamos demostrar que $r = 2 \cos \theta$, pero parece que no llegamos allí. Parece que nos resultó algo un poco más débil: que $r = 2 \cos \theta$ o $r = 0$. Ahora tenemos que demostrar que si pasa a ser el caso de que $r = 0$, a continuación, $r = 2 \cos \theta$ sostiene así, lo que podemos concluir que la propiedad 3 se mantiene. Esto es fácil: la única manera de $r$ cero es $x = y = 0$, para que el caso de nuestra construcción elige explícitamente $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ que obliga a $r = 2 \cos \theta$ a celebrar.

La comprobación de la propiedad 4:

$$\cos \theta \geq 0$$

Ya sabemos que $x = r \cos \theta$ e $r \geq 0$ (debido a que hemos definido con una raíz cuadrada), sabemos que $\cos \theta \geq 0$ si y sólo si $x > 0$. Así que tenemos que demostrar que $x > 0$. Cómo hacerlo? Sabemos que $(x - 1)^2 + y^2 = 1$, y desde $y^2 \geq 0$, esto significa que $(x - 1)^2 \leq 1$, lo que significa que $-1 \leq (x - 1) \leq 1$ que implica $x \geq 0$.

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Parte 2: $B \subseteq A$

De forma análoga, vamos a $(x,y) \in B$. Tenemos que demostrar que el $(x,y) \in A$. Por definición de $A$ esto sucede si y sólo si $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ sostiene. Sabemos que $(x,y) \in B$, por lo que sabemos que existe, $r, \theta \in [0, \infty)$ la satisfacción de esas cuatro propiedades. En particular, por la tercera propiedad solos, tenemos:

$$r = 2 \cos \theta$$ $$\iff r^2 = 2 r \cos \theta$$ $$\iff r^2 - 2 r \cos \theta = 0$$ $$\iff r^2 - 2 r \cos \theta + 1 = 1$$ $$\iff r^2 ((\sin \theta)^2 + (\cos \theta)^2) - 2 r \cos \theta + 1 = 1$$ $$\iff r^2 (\cos \theta)^2 - 2 r \cos \theta + 1 + r^2 (\sin \theta)^2 = 1$$ $$\iff (r \cos \theta)^2 - 2 r \cos \theta + 1 + (r \sin \theta)^2 = 1$$ $$\iff (r \cos \theta - 1)^2 + (r \sin \theta)^2 = 1$$ $$\iff x^2 + y^2 = 1$$

Lo que completa la prueba.

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Reflexiones finales

La prueba anterior es probablemente demasiado riguroso. Pero debe ser revelador de todos modos. Siempre debemos recordar que cuando hacemos una no tan rigurosas pruebas, es porque creemos que la prueba puede ser hecha riguroso directo y queremos ahorrar nuestro tiempo y de nuestros lectores. Pero a menudo nos dejamos llevar y hacer que no rigurosas pruebas sin estar realmente convencidos de que podemos hacerlo riguroso si es necesario.

De hecho, sólo me di cuenta del problema con la desigualdad estricta $\cos \theta > 0$ porque me iba a través de este super rigurosa prueba, y en el paso 3 de la parte 1 me quedé atrapado porque no podía obtener la desigualdad. Entonces me di cuenta de que tal vez no eran iguales en el primer lugar!

Al menos me gusta seguir súper pruebas rigurosas cada ahora y entonces...