A mí me parece que tienes las cosas muy bien. Puedo restringir la atención a los reales o complejos espacios vectoriales. (Edit: Pero ver la actualización).
Dado un producto escalar $\langle \cdot, \cdot\rangle$ obtenemos una norma mediante la configuración de $\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ por una aplicación de Cauchy-Schwarz desigualdad.
Por el contrario, una normativa espacio vectorial estructura proviene de una pre-estructura de espacio de Hilbert (como se describe en 1.) si y sólo si la norma satisface la ley del paralelogramo $$2\|x\|^2 + 2\|s\|^2 = \|x-y\|^2 + \|x+y\|^2.$$ Ver Arturo, la respuesta a esta pregunta para un esquema de la prueba de la no-trivial de dirección (el trivial dirección es sólo un ejercicio en la expansión del producto escalar). Actualización: he añadido una solución a ese mismo hilo.
Dada una norma en un espacio vectorial, podemos obtener una métrica poniendo $d(x,y) = \|x - y\|$.
Esto responde a su pregunta acerca de la jerarquía de la siguiente manera: Tenemos las inclusiones
$$
\begin{array}{ccccc}
\{\text{Pre-Hilbert espacios}\} &\subconjunto &\{\text{normativa espacios}\} & \subconjunto & \{\text{métrica espacios vectoriales}\}\\
\cup & & \cup & & \cup \\
\{\text{Hilbert espacios}\} & \subconjunto & \{\text{espacios de Banach}\} & \subconjunto & \{\text{Completa de métricas de espacios vectoriales}\}\end{array}
$$
donde la segunda fila se obtiene a partir de la primera fila por la adición de la puramente métrica de la propiedad de integridad.
Ahora permítanme hablar de el hecho de que estas inclusiones son en realidad estricta. Permítanme comenzar con la segunda fila.
La primera observación que deseo hacer es que por $1 \leq p \lt \infty$ y un entero positivo arbitrario $n$ el espacio de $\mathbb{R}^{n}$ o $\mathbb{C}^{n}$ con $\ell^{p}$-norma
$$\Vert x \Vert_{p} = \Vert(x_{1},\ldots,x_{n})\Vert_{p} = \left(\sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p}\right)^{1/p}$$
es un espacio de Banach. Es un espacio de Hilbert si y sólo si $p = 2$ (o $n = 1$ donde todo $\ell^p$-normas coinciden). Si $n \geq 2$ y $p \neq 2$ el paralelogramo citada ley falla: Tomar $x = (1,0,\ldots,0)$ y $y = (0,\ldots,0,1)$, entonces $\Vert x\Vert_{p} = 1 = \Vert y\Vert_{p}$ mientras $\Vert x-y\Vert_{p} = 2^{1/p} = \Vert x + y\Vert_p$, por lo que tenemos
$$4 = 2\Vert x\Vert_{p}^2 + 2\Vert y\Vert_{p}^{2} \neq \Vert x - y \Vert_{p}^2 + \Vert x + y \Vert_{p}^2 = 2 \cdot 2^{2/p}$$
desde $p \neq 2$. Así que ya tenemos un montón de ejemplos de espacios de Banach que no Hilbert espacios.
El espacio de $\mathbb{R}$ con la métrica $d(x,y) = \dfrac{|x-y|}{1+|x-y|}$ es un completo métrica espacio vectorial (un brillante ejercicio de los insto a hacer!), pero claramente $d(0,x)$ ¿ no definir una norma (como afirma en otro "respuesta"), desde $d(0,\lambda x) \neq |\lambda| d(0,x)$ en general.
Hasta ahora la más fácil de las cosas.
Ahora permítanme hablar de otro ejemplo. Deje que $\mathcal{P}([0,1])$ (no es una notación estándar) el espacio de funciones polinómicas $f(x) = a_{n}x^n + \cdots + a_{1} x + a_0$ arbitrario de grado en el intervalo $[0,1]$. El $\ell^p$-norma puede ser definido como el anterior: $\Vert f\Vert_{p} = \left(\sum_{k=1}^{n} |a_{k}|^{p}\right)^{1/p}$.
Y tomando los polinomios de $x$ y $x^2$, vemos de nuevo que el paralelogramo de ley no si $p \neq 2$, así que de nuevo, esto le da un ejemplo de una normativa espacio vectorial de que no es un espacio de Hilbert.
El punto de este ejemplo es que $\mathcal{P}([0,1])$ es nunca completa con respecto a los $\ell^{p}$-norma.
Hay muchas maneras de ver esto. Mantener este blog tan simple como sea posible, permítanme hacer esta completamente explícitamente: Comprobar que $f_{n}(x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1}$ ($(2n+1)$-st polinomio de Taylor de $\sin{x}$) forma un $\ell^{p}$-secuencia de Cauchy y no convergen en $\mathcal{P}([0,1])$. Un poco más de alta potencia enfoque sería apelar a la aproximación de Weierstrass teorema (esto requiere de algunos trucos), o el hecho general de que un espacio de Banach tiene finito o incontables dimensión—el último es una consecuencia estándar de la categoría de Baire teorema (lo que equivale a incluso peor engaño en mi opinión).
Por lo tanto, tenemos ahora un ejemplo de una normativa espacio vectorial que no está completo y por $p = 2$ este es un ejemplo de un espacio de Hilbert que no es un espacio de Hilbert. Esta familia de ejemplos se asienta estrictos de inclusión $\{\text{Hilbert espacios}\} \subsetneqq \{\text{pre-Hilbert espacios}\}$, $\{\text{espacios de Banach}\} \subsetneqq \{\text{normativa espacios}\}$ y también $\{\text{pre-Hilbert espacios}\} \subsetneqq \{\text{normativa espacios vectoriales}\}$.
Hay dos inclusiones dejé abierta hasta el momento y solo me dio un poco insatisfactorio ejemplo de un (completa) la métrica espacio vectorial de que no es un espacio de Banach. Dado que este es un poco más sutil, yo simplemente hacer algunas observaciones finales.
La primera observación que me gustaría mencionar es que una normativa espacio vectorial tiene una abundancia de convexo abierto conjuntos. De hecho, la bola de radio $r$ alrededor de cualquier punto es convexa. En una métrica espacio vectorial, sin embargo, no hay ninguna razón que no sea cualquier convexo abierto conjuntos, excepto el conjunto vacío y el espacio en sí mismo—esto es debido al hecho de que la métrica es que no requiere ser homogéneo, sólo la traducción-invariante. Un ejemplo común de esto es el espacio $L_{0}([0,1])$ de todos (clases de) Lebesgue medibles funciones modulo null establece, equipado con la topología de la convergencia en la medida de ser explícito, mi preferido métrica es de $\displaystyle d(f,g) = \int \frac{|f - g|}{1 + |f-g|}$.
La diferencia entre la primera fila y la segunda fila es realmente no es tan grande y no suele ser de mucha importancia, ya que existe el proceso de finalización. De hecho, la realización de una métrica espacio vectorial es de nuevo una métrica espacio vectorial (y completa, por definición), la realización de una normativa espacio de nuevo tiene una norma y por lo tanto es un espacio de Banach, por definición y en la realización de un pre-espacio de Hilbert es un espacio de Hilbert (desde el paralelogramo ley se cumple en la realización). Para encontrar ejemplos que pertenecen a la primera fila, pero no a la segunda, podemos simplemente elegir un subespacio denso de nuestros favoritos (infinito-dimensional) ejemplo de la segunda fila.
Por último, permítanme insistir en que todos los temas anteriores se engloban en la teoría de espacios vectoriales topológicos de que la teoría de localmente convexo espacios es la más rica y más razonable para la mayoría de las aplicaciones que necesitan ir más allá de la normativa espacios vectoriales (por ejemplo, la teoría de las distribuciones). Pero yo diría que es más razonable que se adhieren a los espacios de Banach y normativa espacios vectoriales en primer lugar, para que una muy buena introducción es dado en Rudin del Real y el análisis complejo o cualquier introducción al análisis funcional. Un decente conocimientos de análisis real (en particular la teoría de la medida) parece ser el requisito previo básico para la apreciación de un libro, sin embargo.
Actualización: Aquí hay dos comentarios a un ya eliminado respuesta que merece ser visto por el público (he omitido las referencias a las personas involucradas y que ha cambiado un poco el formato):
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Matt E escribe:
[...] la noción de espacio de Hilbert depende de $F$ sea $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Se requiere una positiva definida interior del producto (no arbitraria), y positiva definida sólo tiene sentido por más de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. (Y tenga en cuenta que en el caso de $\mathbb{C}$, se requiere que el emparejamiento se Hermitian, es decir, conjugar lineal en la segunda variable, concepto que es particular a $\mathbb{C}$.) De nuevo, en la fórmula de la norma, la raíz cuadrada sólo tiene sentido por el hecho de tomar la raíz cuadrada de un número real positivo — en un campo general de un elemento no puede ser un cuadrado, e incluso si lo es, no hay forma de extraer un canónica de la raíz cuadrada. [...]
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Qiaochu Yuan escribe:
[...] es posible definir quaternionic espacios de Hilbert. Ver http://math.ucr.edu/home/baez/symplectic.html
Que no se puede empujar las cosas mucho más puede (en algún sentido) ser visto desde un buen teorema de Maria Pia Solèr, ver Juan Báez post en el nCafé explicaciones, referencias y reflexiones.
