Para aclarar posibles malentendidos y hacer que sea más fácil de entender, voy a usar esta notación:
En lugar de escribir "Rolling n m caras de los dados", voy a reducir a Rodar " ndm". (n es la cantidad de dados y m es la cantidad de lados en los dados) (Esta es la notación utilizada en el D&D, si usted sabe lo que es)
Im preguntando cómo calcular la probabilidad de obtener al menos una suma de s al rodar ndm. Encontrar la cantidad de resultados posibles es bastante fácil, tan solo es $m^n$. Para f.ex para 3d6, la cantidad de posibles resultados serían $6^3 = 216$. He mirado en similar preguntas frecuentes antes y encontré una muy útiles, relacionados con la fórmula para encontrar la cantidad de maneras de obtener la suma de s al rodar ndm:
Deje $k = \lfloor \frac {s-n}m \rfloor$
$$\sum_\limits{i=0}^{k} (-1)^i{n\choose i}{s-1 - im\choose n-1}$$
Sin embargo, esto sólo nos da la probabilidad de obtener exactamente s, no al menos s.
Respuestas
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Considere la posibilidad de que $$ \eqalign{ & {\rm No}{\rm .}\,{\rm de}\,{\rm soluciones}\,{\rm}\;\left\{ \matriz{ {\rm 1} \le {\rm integer}\;y_{\,j} \le m \hfill \cr y_{\,1} + y_{\,2} + \; \cdots \; + y_ {\n} = s \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad {\rm No}{\rm .}\,{\rm de}\,{\rm soluciones}\,{\rm}\;\left\{ \matriz{ {\rm 0} \le {\rm integer}\;x_{\,j} \le m - 1 \hfill \cr x_{\,1} + x_{\,2} + \; \cdots \; + x_ {\n} = s - n \hfill \cr} \right. = \cr & = N_{\,b} (s - n,m - 1,n) \cr} $$ donde $N_b$ está dado por $$ \eqalign{ & N(suma = s,m,n) = N_b (s - n,m - 1,n)\quad = \cr & = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,\,k\,\,\left( { \le \,{{s n} \over m}\, \le \,n} \right)} { \left( { - 1} \right)^k \binom{n}{k}\binom{s-1-k\,m}{s-n-k\,m} } \cr} $$ como ampliamente explicado en este post relacionados.
Tenga en cuenta que el segundo binomio parece equivalente a la de la fórmula citado.
Pero escrito en esta forma tiene la ventaja de que implícitamente contienen los límites de la suma,
que luego puede ser omitido (indicado entre paréntesis).
Esto tiene la ventaja de simplificar las manipulaciones algebraicas, y en el hecho de
para el Número acumulado podemos conseguir fácilmente
$$
\eqalign{
& N(sum \le S,m,n) = \cr
& = \sum\limits_{0\, \le \,s\, \le \,S} {\sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,\,k\,\,\left( { \le \,{{s n} \over m}\, \le \,n} \right)} {
\left( { - 1} \right)^k \binom{n}{k}\binom{s-1-k\,m}{s-n-k\,m} } } = \cr
& = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,\,k\,\,\left( {\, \le \,n} \right)} {\sum\limits_{\left({0\, \le}\right) \,s\, \left({\,\le \,S}\right)} {
\left( { - 1} \right)^k \binom{n}{k} \binom{S-s}{S-s} \binom{s-1-k\,m}{s-n-k\,m} } } = \cr
& = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,\,k\,\,\left( {\, \le \,n} \right)} {
\left( { - 1} \right)^k \binom{n}{k} \binom{S-k\,m}{S-n-k\,m}} \cr}
$$
mediante el uso de la "doble convolución" fórmula de binomios.
Es un poco más fácil para responder a la probabilidad de obtener menos de $s$. Este es $m^{-n}$ veces el número de soluciones a $$ d_1+d_2+\dots+d_n+e=s,\\ 1\le d_i\le m,\\ 1\le e $$ cual es el coeficiente de $x^s$ en $$ m^{-n}(x+x^2+\dots+x^m)^n\cdot (x+x^2+x^3+\dots)=m^{-n}x^{n+1}(1-x^m)^n(1-x)^{n-1}. $$ Por lo tanto, $$ \boxed{P(\text{rollo de menos de s})=m^{-n}\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{s-1-n}{m}\right\rfloor}(-1)^i\binom{n}{i}\binom{s-1-im}{n}} $$ Por ejemplo, con dos de sus seis caras de los dados, se obtiene $$ \frac1{36}\Bigg[\binom{s-1}{2}-2\binom{s-7}{2}+\binom{s-13}{2}\Bigg] $$ que los cheques.
Mientras que el pensamiento acerca de este problema por fin vi la simplicidad. En primer lugar, ¿qué significa "llegar al menos s", bien, simplemente significa obtener cualquier suma mayor o igual a s. Así que para obtener el resultado deseado, necesitamos "suma más de s" como menciona @Masacroso. De hecho encontrar esta fórmula no era tan obvio, pero creo que he trabajado:
$$\frac{\sum_\limits{j=s}^{n*m} \sum_\limits{i=0}^{\lfloor \frac {j-n}m \rfloor} (-1)^i{n\choose i}{s-1 - im\choose n-1}}{m^n}$$
Para explicar por qué esto debería funcionar: La fórmula que he citado en la pregunta que nos dio la cantidad de maneras de obtener s como una suma al rodar ndm, pero dado que la cantidad de maneras de conseguir , al menos, $s$ es sólo todos los casos donde la suma es ≥ $s$, podemos añadir la cantidad de maneras de llegar a$s$, a continuación, $s+1$, entonces $s+2$ y así sucesivamente hasta el máximo posible el rollo, es decir, $n*m$. (Dividiendo por la cantidad de resultados posibles, es decir, $m^n$)
Esto nos debe de dar el deseado probabilidad de $0$ a $1$.
Del mismo modo, la probabilidad de obtener en la mayoría de las $s$ es exactamente la misma fórmula, pero pasar de $n$ a $s$ en lugar de $s$ a $n*m$. (Esto es debido a que el más bajo posible, el rollo de siempre va a ser igual a la cantidad de dados hecho rodar. (Suponiendo que sacas un 1 en cada rollo))
$$\frac{\sum_\limits{j=n}^{s} \sum_\limits{i=0}^{\lfloor \frac {j-n}m \rfloor} (-1)^i{n\choose i}{s-1 - im\choose n-1}}{m^n}$$
