Dejemos que $R$ sea un anillo (por ejemplo $\mathbb{Z}$ ) y $A,B$ dos $R$ -módulos.
Además, tenemos dos morfismos $A \xrightarrow{f}B$ y $B \xrightarrow{g}A$ con propiedad $g \circ f = id_A$ .
Mi pregunta es cómo ver que $ker(g) \cong coker(f) $ ?
Mis consideraciones:
Tenemos $coker(f)= B/im(f)$ por definición y ya que $g \circ f = id_A$ $f$ está en inyección por lo que podemos identificar $A$ con $im(f)$ .
Así que $coker(f) \cong B/A$ . Pero no veo cómo resolver $ker(g) \cong B/A$ . ¿Alguien puede ayudar?
¿Se puede generalizar el argumento a cualquier categoría abeliana?
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La secuencia exacta corta $0\to A\to B\to B/A\to0$ se divide...
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@LordSharktheUnknown: sí, así que tenemos $B \cong A \oplus B/A$ . La pregunta es si $g$ coincide en este caso con la proyección canónica $pr:A \oplus B/A \to A$ ?
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Cuando uno tiene un s.e.s. dividido entonces hay un s.e.s. dividido al revés.
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@LordSharktheUnknown: ¿Establece que solo existe alguna división $0 \to B/A \to B \to A \to 0$ o significa que la "nueva" división conserva los mapas anteriores en el sentido de que la división está dada exactamente por $$0 \to B/A \to B \xrightarrow{g} A \to 0$$ ?
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Sí, así es. ${}$
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@LordSharktheUnknown:
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hmmm el siguiente punto no me convence: si tenemos en cuenta el hecho de que $B \cong A \oplus B/A$ y que este isomorfismo respeta los ses entonces tendríamos $$ \require{AMScd} \begin{CD} B @>{g} >> A \\ @VV \cong V @VV=V \\ A \oplus B/A @>{pr_A}>>A ; \end{CD} $$ . No veo por qué debería mantenerse.
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Sí, el diagrama anterior es conmutativo. Cuando tenemos una secuencia exacta dividida como la anterior, el isomorfismo $B\to A\oplus B/A$ viene dada exactamente por $(g,p)$ (donde $p:B\to B/A$ es la proyección canónica).