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$g \circ f = id_A$ implica $ker(g) \cong coker(f) $

Dejemos que $R$ sea un anillo (por ejemplo $\mathbb{Z}$ ) y $A,B$ dos $R$ -módulos.

Además, tenemos dos morfismos $A \xrightarrow{f}B$ y $B \xrightarrow{g}A$ con propiedad $g \circ f = id_A$ .

Mi pregunta es cómo ver que $ker(g) \cong coker(f) $ ?

Mis consideraciones:

Tenemos $coker(f)= B/im(f)$ por definición y ya que $g \circ f = id_A$ $f$ está en inyección por lo que podemos identificar $A$ con $im(f)$ .

Así que $coker(f) \cong B/A$ . Pero no veo cómo resolver $ker(g) \cong B/A$ . ¿Alguien puede ayudar?

¿Se puede generalizar el argumento a cualquier categoría abeliana?

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La secuencia exacta corta $0\to A\to B\to B/A\to0$ se divide...

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@LordSharktheUnknown: sí, así que tenemos $B \cong A \oplus B/A$ . La pregunta es si $g$ coincide en este caso con la proyección canónica $pr:A \oplus B/A \to A$ ?

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Cuando uno tiene un s.e.s. dividido entonces hay un s.e.s. dividido al revés.

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Pace Nielsen Puntos 138

El truco consiste en demostrar lo siguiente igualdad (no un mero isomorfismo): $$B=f(A)\oplus {\rm ker}(g)$$ y entonces el isomorfismo necesario es trivial, al factorizar por $f(A)$ .

Si necesitas ayuda con esta igualdad, dímelo.

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Esa Pulkkinen Puntos 1

Tal vez no sea cierto. El núcleo de $g : B -> A$ es un subobjeto de B. También es la fibra $g^{-1}(0)=f(0)$ . Pero los subobjetos no son cocientes a no ser que se dé alguna situación muy especial.

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Esta es una situación especial.

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