Cómo probar$ \frac{m!}{n!} \geq n^{m-n} $

Question

Cómo probar lo siguiente:

PS

En mi libro está escrito: "es fácil de probar al considerar por separado los casos $$ \frac{m!}{n!} \geq n^{m-n} $ y $m \geq n$ ).

Intenté usar los límites de Stirling y obtuve:

PS

Pero este límite no es tan estricto como el primero desde $m<n$

¡Gracias!

Answer 1

La aproximación de Stirling no es útil aquí. La definición de factorial es todo lo que necesitamos.

Tenga en cuenta que si $m\geq n$ entonces $$m!=\underbrace{m\cdot (m-1)\cdots (n+1)}_{\text{$ mn$ factors each one $> n$}}\cdot n!$ $ Por otra parte, si $n>m$ entonces $$n!=\underbrace{n\cdot (n-1)\cdots (m+1)}_{\text{$ nm$ factors each one $ \ leq n$}}\cdot m!$ $ ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 2

Para $m \ge n$ $$\frac{m!}{n!}=(n+1) \cdot (n+2) \cdots (m-1) \cdot m \ge n \cdot n \cdots n = n^{m-n}$% $

Answer 3

Insinuación:

Para $m \ge n$ , $$\frac{m!}{n!} = m\times(m-1)\times\cdots\times(n+1) \ge n\times n \times \cdots n=n^{m-n}$ $ ¿Qué sucede para $m \le n$ ? PS

Answer 4

No hay necesidad de Stirling aquí, en la escuela primaria computationw trabajo de la mejor manera.

Cuando $n \leq m$, $m!/n!$ es un producto de $n-m$ enteros, todos mayores de $n$, lo $m! \geq n^{m-n}n!$.

Cuando $n > m$, $m!/n!$ es un producto de los recíprocos de $n-m$ enteros todas las $\leq n$, por lo que el producto es $\geq (1/n)^{n-m}=n^{m-n}$.