$\left\lfloor \frac{a-b}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{a+b}{2} \right\rceil = a$ cuando$a,b$ son enteros?

Question

Deje que $a$ y $b$ sean enteros positivos.

Si $b$ es par, entonces tenemos $$\left\lfloor \frac{a-b}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{a+b}{2} \right\rceil = a$ $

Creo que la igualdad también se mantiene cuando $b$ es impar. ¿Qué podría ser una prueba de ello?

Answer 1

Si $a$ e $b$ son ambos impares (o ambos), a continuación, $a-b$ e $a+b$ son ambos inclusive, y por lo tanto $$\left\lfloor \frac{a-b}{2} \right\rfloor = \frac{a-b}{2} \quad\text{and}\quad \left\lceil \frac{a+b}{2} \right\rceil = \frac{a+b}{2}.$$

De lo contrario, si exactamente uno de $a$ e $b$ es impar, entonces $a-b$ e $a+b$ son ambos impares, y por lo tanto $$\left\lfloor \frac{a-b}{2} \right\rfloor = \frac{a-b}{2} - \frac12 \quad\text{and}\quad \left\lceil \frac{a+b}{2} \right\rceil = \frac{a+b}{2} + \frac12.$$

En cualquier caso, es fácil comprobar que la ecuación tiene.

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Por CIERTO, como se señaló por Gareth McCaughan, la ecuación de hecho tiene para todos los números reales $b$, mientras $a$ es un número entero. Una manera simple de mostrar esta es la nota que $\frac{a+b}{2} = a - \frac{a-b}{2}.$ por Lo tanto, podemos reescribir la ecuación como $$\left\lfloor \frac{a-b}{2} \right\rfloor + \left\lceil a - \frac{a-b}{2} \right\rceil = a.$$

Desde $a$ es un número entero (por supuesto), y desde $\lceil k + x \rceil = k + \lceil x \rceil$ para cualquier entero $k$, podemos extraer $a$ desde el techo plazo para $$\left\lfloor \frac{a-b}{2} \right\rfloor + a + \left\lceil - \frac{a-b}{2} \right\rceil = a,$$ and finally, by applying the identity $\lceil -x \rceil = - \lfloor x \rfloor$, rewrite this as $$\left\lfloor \frac{a-b}{2} \right\rfloor + a - \left\lfloor \frac{a-b}{2} \right\rfloor = a.$$ Cancelling the floor terms then just leaves the identity $a = a$.

Por otro lado, como también se indicó por Gareth, la ecuación no puede mantener para cualquier no-entero $a$, desde su lado izquierdo es siempre un número entero.

Answer 2

La igualdad solo depende de la paridad de $a+b$ , ya que es la misma que la de $a-b$ . Entonces

$$\left\lfloor\frac02\right\rfloor+\left\lceil\frac02\right\rceil=0$ $ y $$\left\lfloor\frac12\right\rfloor+\left\lceil\frac12\right\rceil=1$ $ son suficientes como prueba.

Answer 3

Esto funciona en realidad cualquiera que sea el valor de $b$ -- no tiene que ser un entero. Claramente es verdad cuando $b=0$. Ahora imagina el cambio de $b$ sin problemas de $0$ a su valor final. ¿Cuándo el valor de nuestro cambio de expresión? Precisamente cuando $(a+b)/2$ o $(a-b)/2$ pasa un entero; es decir, cuando $a\pm b$ es un entero par; es decir, cuando $b$ difiere de $a$ por un entero par. Cuando esto sucede, tanto en términos de cambio en sentidos opuestos, por lo que la expresión como un todo no cambia su valor. Así que por el momento $b$ alcanza su valor final, nuestra expresión todavía no ha cambiado.

(Por otro lado, si $a$ no es un entero, entonces la ecuación nunca tiene porque un lado es un entero y el otro no lo sea).

Answer 4

Si $a$ e $b$ son ambos impares, entonces tenemos $a=2m+1$ e $b=2n+1$ donde $m$ e $n$ son enteros positivos.

Entonces, tenemos \begin{align}\left\lfloor\frac{a-b}2\right\rfloor+\left\lceil\frac{a+b}2\right\rceil &= \left\lfloor\frac{(2m+1)-(2n+1)}2\right\rfloor+ \left\lceil\frac{(2m+1)+(2n+1)}2\right\rceil\\ &=\left\lfloor\frac{2m-2n}2\right\rfloor+ \left\lceil\frac{2m+2n+2}2\right\rceil\\ &=\lfloor m-n\rfloor + \lceil m+n+1\rceil\\ &= m-n + m+n+1\tag{%#%#%}\\ &= 2m+1\\ &=a\end{align}

Podemos llegar a $*$ porque $(*)$ e $m$ son enteros y por lo que su piso (o techo) es el número en el interior (dos enteros suma o se resta siempre va a dar un número entero de respuesta).

Si $n$ es incluso y $a$ es impar, entonces tenemos $b$ e $a=2m$, de nuevo por $b=2n+1$ e $m$ enteros.

Así que tenemos \begin{align}\left\lfloor\frac{a-b}2\right\rfloor+\left\lceil\frac{a+b}2\right\rceil &= \left\lfloor\frac{(2m)-(2n+1)}2\right\rfloor+ \left\lceil\frac{(2m)+(2n+1)}2\right\rceil\\ &=\left\lfloor\frac{2m-2n-1}2\right\rfloor+ \left\lceil\frac{2m+2n+1}2\right\rceil\\ &=\left\lfloor m-n-\frac 12\right\rfloor + \left\lceil m+n+\frac12\right\rceil\\ &= m-n -1+ m+n+1\tag{%#%#%}\\ &= 2m\\ &=a\end{align}

Aquí tenemos a $n$ porque nos ronda la primera mitad y la segunda mitad a sus respectivos más cercano enteros

Answer 5

Como $s:=a+b$ y $a-b$ tienen la misma paridad, podemos escribir

PS