Resuelve la ecuación |x-1|=x-1

Question

Resuelve la ecuación: $|x-1|=x-1$

Mi solución:

Caso 1 : $ x\ge1$ Por lo tanto $x-1=x-1$ Por lo tanto, la solución es infinita

Caso 2 : $ x<1$ Por lo tanto $1-x=x-1$ , $x=1$ Por lo tanto, no hay solución

Pero la solución que he visto utilizar es el concepto $ x\le1$ en lugar de $ x<1$

Por lo tanto, la respuesta final es $[1,\infty]$ ¿es correcto este concepto?

Answer 1

Su solución es correcta.

Mi solución: si $|x-1|=x-1$ entonces $x-1 \ge 0$ Por lo tanto $x \ge 1$ . Para $x \ge 1$ sus ecuaciones son las siguientes: $x-1=x-1$ .

Por lo tanto: $|x-1|=x-1 \iff x \ge 1.$

Answer 2

Si hicieras que el caso 1 cubriera $x \gt 1$ y la tapa del caso 2 $x \le 1$ entonces se obtendría una respuesta similar para el caso 1, es decir, todos esos $x \in (1,\infty)$ satisfacen la ecuación

mientras que para el caso 2: $\qquad1-x=x-1 \implies x=1$

y su solución combinada sería entonces $x \in (1,\infty) \cup \{1\} = [1,\infty)$ la misma solución que su método original

Answer 3

Tu respuesta es correcta, aparte del corchete señalado en el comentario de @ElevenEleven ( $\infty$ no puede ser el extremo superior de un intervalo cerrado).

Otra forma de conseguirlo es observar que $|a|=a$ sólo cuando $a\geq 0$ Así pues, para $a=x-1$ ,

$$|x-1|=x-1$$ implica $$x-1\geq 0$$

que te da la respuesta sin necesidad de considerar diferentes casos.

Answer 4

¡Bien hecho! En última instancia, no es necesario considerar el segundo caso, ya que $\lvert t\rvert\neq t$ para $t<0,$ pero no está de más ser minucioso. Lo único que hay que cambiar de su conclusión es de $[1,\infty]$ a $[1,\infty),$ como " $\infty$ " es una convención notacional y no un número real.