Determinar la fórmula de recurrencia

Question

$\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx$

Tengo problemas para encontrar la fórmula de recurrencia para esta integral. $n$ es parámetro natural. He tratado de dividir $(1-x^2)^n = (1+x)^n(1-x)^n$ y luego integrar parcialmente, pero sólo complica las cosas.

Tal vez la sustitución $x=sint$ ¿puede llevar a la solución? Cuando lo aplico obtengo:

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(cost)^{n+1}dt$

¿Qué hacer entonces?

Answer 1

Puede integrar por partes directamente para obtener \begin{align} \int \limits_{-1}^1 (1-x^2)^n \, \mathrm{d} x &= \left[x (1-x^2)^n \right]_{x=-1}^{x=1} + 2n \int \limits_{-1}^1 x^2 (1-x^2)^{n-1} \, \mathrm{d} x \\ &= 2 n \left[\int \limits_{-1}^1 (1-x^2)^{n-1} \, \mathrm{d} x - \int \limits_{-1}^1 (1-x^2)^n \, \mathrm{d} x\right] \end{align} para $n \in \mathbb{N}$ que es la relación de recurrencia que buscas.

Answer 2

No es una repetición, pero parece que $$ I_n = \int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx = \frac{2^{a_n}}{b_n} $$ donde $a_n$ es OEIS/A030303 y $b_n$ es OEIS/A001803 .

También, $$ \frac{1}{(1 - x)^{3/2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{I_n} x^n $$

WA da $$ I_n = \frac{\sqrt{\pi} \ \Gamma(n + 1)}{\Gamma(n +\frac32)} = \frac{2^{n+1} n!}{(2n+1)!!} $$

Answer 3

En el camino de Nikola Mijuškovic...

\begin{align}I_n&=\int_{-1}^1 (1-x^2)^n\, dx\\&=2\int_{0}^1 (1-x^2)^n\, dx\end{align}

Realizar el cambio de variable $x=\sin t$ ,

\begin{align}I_n&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2n+1}t\, dt\\ &=2W_{2n+1} \end{align}

$W_n$ es el número n-ésimo de Wallis (véase: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis%27_integrals )

Se sabe que, para $n\geq 0$ ,

\begin{align}W_1&=1\\ W_{n+2}&=\frac{n+1}{n+2}W_n\end{align}

Por lo tanto,

\begin{align}I_{n+1}&=2W_{2n+3}\\ &=\frac{2(2n+2)}{2n+3}W_{2n+1}\\ &=\frac{2(n+1)}{2n+3}I_{n} \end{align}