Álgebras finitas y bases de Grobner

Question

De fondo

Supongamos que $A$ es finita $\mathbb{R}$-álgebra, es decir, es finito-dimensional de un espacio vectorial.
Por consecuencia de Hilbert-basisatz, ya $\mathbb{R}$ es Noetherian, entonces también lo es $A$, por lo tanto, en particular, no existe $f_1,\dots,f_n$ generando el ideal $\mathbb{R}[x]/(x^n)=\mathbb{R}(f_1,\dots,f_n)$. Supongo que estos pueden ser expresados mediante una base de Groebner.

Pregunta

Si $f_1,\dots,f_n$ es una base de Groebner de $A\triangleq \frac{\mathbb{R}}{(f_1,\dots,f_n)}$; $f_i \in \mathbb{R}$, e $N_1,\dots,_{N_n}>0$ es tal que $$ Deg(f_1)={N_i}, $$ entonces el conjunto de todos los divisores de a$f_1,\dots,f_n$ para una base de $A$ como $\mathbb{R}$-módulo?

Ejemplo

En el caso particular de la $A=\mathbb{R}[x]/(x^n)\cong \mathbb{R}^{n}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Este hecho es cierto y $$ \mathcal{B}= \{x^i \}_{i=0}^{N_n}\qquad ;N_n=n , $$ constituye una base de $A$ como $\mathbb{R}$-álgebra.

Answer 1

En su "Pregunta" de la sección, no sé qué quieres decir con "si $f_1,\ldots, f_n$ es una de Grobner base de $A$". Una de Grobner base es generalmente definido por un ideal de un polinomio anillo de más de un campo, no sólo a cualquier álgebra.

Tal vez te refieres a que $A$ es un cociente de un polinomio anillo de $\mathbb R[x_1,\ldots, x_m]/I = A$, como en tu ejemplo, y te refieres a que $\{f_i\}$ es una de Grobner base para el ideal $I = (f_1,\ldots, f_n)$. Entonces no, $\{f_i\}$ no es una base para $A$, es el opuesto de una base que todos sus elementos son 0 en $A$.

Usted ha mencionado el $\mathbb R[x]/(x^n)$ y dijo que es "cierto" que $\{x^i\}_{i=0}^{n-1}$ constituye una base para esta álgebra. Pero fue una de Grobner base en el primer lugar? ¿Por qué crees que esto/¿qué significa?

AÑADIÓ:

OK creo que entiendo lo que estás tratando de preguntar. Tal vez tu pregunta es:

¿Cómo puede un Grobner base de un ideal $I$ ayudarnos a encontrar una base para $A = \mathbb R[x_1,\ldots, x_n]/I$? (Posiblemente en el caso particular de la $A$ es finito dimensionales.)

Voy a responder a esto por lo que sugiere un par de ejemplos.

1. En una variable, $\mathbb R[x]$ es un PID para todos los ideales son de la forma $(f)$. Este es un lugar trivial uso de bases de Grobner, pero el patrón que se extiende a múltiples variables es que una base para el cociente $A$ está dada por el poder de $x$ menos que el grado de $f$.

2. Un ejemplo de dos variables es el ideal de la $I = (x^2y^2 + xy + 1, x^3, y^4)$. Uno de Grobner base para esto es $\{x^2y^2, x^3, y^4\}$. ¿Qué es una base para el cociente? Cualquier monomio $x^iy^j$ para un par de $(i,j)$ tal que $i<3$ e $j<4$ e si $i\geq 2$ entonces $j < 2$. En otras palabras $\{1,y,x,x^2,xy,y^2,x^2y,xy^2,y^3,xy^3\}$.

Como se puede ver, las condiciones que se presentan en 2 no son acerca de la divisibilidad, pero sólo acerca de los límites sobre qué grado cada variable puede tener. Cuando usted ha mezclado términos de las variables de las restricciones se vuelven más complicadas, que es donde el monomio que llegan los pedidos.

Por último voy a hablar de que no es importante que $A$ ser finito dimensionales. Usted todavía puede encontrar una base del cociente utilizando un grobner base para el ideal. Usted puede hacer esto en $A$ por ejemplo cuando se quita la suposición de que $y^4 = 0$. A continuación, una base para $A$ se $y^i, xy^i, x^2, x^2y$ donde $i \geq 0$ es el poder de $y$.

Answer 2

Yo no entiendo completamente tu pregunta, ya que hay muchos oscuro cosas como Ben señaló.

Sin embargo, supongo que usted está pidiendo algo como esto: tengo un álgebra conmutativa $A$ sobre $\mathbb{R}$ que es finito-dimensional como una $\mathbb{R}$-espacio vectorial. En particular, tiene que ser de la forma $A\cong\mathbb{R}[X_1,\ldots,X_n]/(f_1,\ldots,f_m)$ para algunos polinomios $f_1,\ldots,f_m$. Puedo corregir un monomio orden y supongo que $\{f_1,\ldots,f_m\}$ es una base de Groebner del ideal que generan. Es cierto que el conjunto de $\mathcal{B}$ que contiene las clases de equivalencia de todos los divisores de los polinomios $f_1,\ldots,f_m$ constituye una base para $A$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$?

El primer trivial respuesta es , por supuesto, no: las clases de $f_1,\ldots,f_m$ son todos los $0$ y están en $\mathcal{B}$. Así, supongamos que usted desea sólo el divisores (donde excluyendo $f_1,\ldots,f_m$ e $1$). La respuesta es que todavía no: $\{x^2+1\}$ es una base de Groebner para $(x^2+1)$ en $\mathbb{R}[x]$ pero no tiene divisores.

Aviso que tiene que excluir $1$, de lo contrario $\{x^2-1\}$ es una base de Groebner para $(x^2-1)$ en $\mathbb{R}[x]$ pero $\mathcal{B}=\{[x-1],[x+1],[1]\}$ que no está libre de más de $\mathbb{R}$ (con $[\;\cdot\;]$ I denota la clase de equivalencia en el cociente).

Edit: Que ni siquiera funciona a través de una algebraicamente cerrado de campo: $\{X^3-1\}$ es una base de Groebner para $(X^3-1)$ en $\mathbb{C}[X]$, sin embargo los elementos en $$\mathcal{B}=\{[X-1],[X-\xi],[X-\xi^2],[X^2+X+1],[X^2 + \xi^2 X+\xi],[X^2+\xi X+\xi^2]\}$$ no son linealmente independientes, donde $\xi$ es una raíz de $X^2+X+1$. De hecho $$[X-\xi]+[X-\xi^2]-\frac{1}{3}\Big(2[X^2+X+1]-[X^2+\xi X+\xi^2]-[X^2+\xi^2X+\xi]\Big) = [X] = \frac{1}{3}\Big([X-1]+[X-\xi]+[X-\xi^2]\Big)$$ que son dos expresiones de $[X]$ como combinación lineal de los elementos de $\mathcal{B}$.