¿Cómo evaluar...

Question

Cómo evaluar: $$\lim_{n\to\infty} \dfrac{1^{p-1}+2^{p-1}+...+n^{p-1}}{n^p}$$

cuando

$i)$ $p\in\mathbb R,p\neq0$

$ii)\space p=0$

Así, por $i)$ he intentado utilizar Stolz–Cesàro y teorema teorema del Binomio y Si no me lío me metí $1$. Pero estoy seguro, pero para $ii)$ y no tengo una idea de por dónde empezar.

Answer 1

Insinuación:

Simplemente escriba $$\dfrac{1^{p-1}+2^{p-1}+...+n^{p-1}}{n^p} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^{p-1}$ $ y manipúlelo como el límite de una suma de Riemann.

Answer 2

Podemos aplicar el Stolz-Cesàro teorema de reales positivos los valores de $p, p\ne 1$ y considerar otros valores de $p$ por separado.

Consideramos que para $p\in\mathbb{R}$: \begin{align*} \lim_{n\to \infty}\frac{1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots+n^{p-1}}{n^p}\tag{1} \end{align*}

Caso $p>1, 0<p<1$:

Si $p>1$ resp. $0<p<1$ la secuencia de $(n^p)_{n\geq 1}$ es estrictamente monótona creciente y acotada. Podemos aplicar el Stolz-Cesàro teorema dejando \begin{align*} a_n&=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots+n^{p-1}\\ b_n&=n^p=\underbrace{n^{p-1}+n^{p-1}+\cdots+n^{p-1}}_{n\ \mathrm{ times}} \end{align*} Desde \begin{align*} \lim_{n\to \infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{p-1}}{n^p-(n-1)^{p}}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{p-1}}{n^p-(n^p-pn^{p-1}+\binom{p}{2}n^{p-2}-\cdots)}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{p-1}}{pn^{p-1}-\binom{p}{2}n^{p-2}+\cdots}\\ &=\frac{1}{p} \end{align*} hemos de acuerdo con el teorema de \begin{align*} \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}&=\lim_{n\to \infty}\frac{1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots+n^{p-1}}{n^p}\color{blue}{=\frac{1}{p}} \end{align*}

Caso $p=1$:

Obtenemos

\begin{align*} \lim_{n\to \infty}\frac{1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots+n^{p-1}}{n^p} =\lim_{n\to\infty}\frac{\overbrace{1+1+\cdots+1}^{n\mathrm{\ times}}}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n} \color{blue}{=1} \end{align*}

Caso $p=0$:

Obtenemos \begin{align*} \lim_{n\to \infty}\frac{1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots+n^{p-1}}{n^p} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\color{blue}{=\infty} \end{align*} desde que la serie armónica es divergente.

Caso $p<0$:

Nos pusimos $q:=-p$ y obtener con $q>0$: \begin{align*} \lim_{n\to \infty}\frac{1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots+n^{p-1}}{n^p} =\lim_{n\to \infty}n^q\left(1+\frac{1}{2^{q+1}}+\cdots+\frac{1}{n^{q+1}}\right)\geq \lim_{n\to\infty} n^q \color{blue}{=\infty} \end{align*}

Resumimos:

\begin{align*} \lim_{n\to \infty}\frac{1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots+n^{p-1}}{n^p}= \begin{cases} \frac{1}{p}&p>0\\ \infty&p\leq 0 \end{casos} \end{align*}