Supongamos que tenemos una contables de la colección de conjuntos de $\{U_n\}$ tal que $U_n\subset U_{n+1}$ por cada $n$ e $U_n$ es homeomórficos a $\mathbb{R}$ (o más generalmente, $X$) para cada una de las $n$, entonces es $\bigcup_{n=1}^\infty U_n$ homeomórficos a $\mathbb{R}$ (o $X$)? No estoy seguro de empujar $n$ a $\infty$ trabaja y yo no podía construir una explícita homeomorphism. Gracias!
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Deje $$U_i = \{e^{2\pi i \theta} -1 \mid \theta \in [0,1-1/i)\} \cup \{e^{2\pi i \theta} +1 \mid \theta \in [1/2, 3/2-1/i)\}.$$
A continuación, todos los $U_i$ es un subconjunto de la unión de dos círculos que se juntan en un solo punto en el origen y es homeomórficos a $\mathbb{R}$. La unión de $\bigcup_i \geq 1$ es igual a la unión de los dos círculos.
He aquí un sencillo ejemplo para $X\cong [0,1)$ utilizando la misma idea. Deje $$U_i = \{e^{2\pi i\theta} \mid \theta \in [0,1-1/i)\}.$$
A continuación, $U_i \cong [0,1)$ para todos los $i \geq 1$, pero $\bigcup_{i \geq 1} U_i = S^1$.
Berci
Puntos
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Para $X=\Bbb R$, es homeomórficos con cualquier intervalo abierto, y $U_n\subseteq U_{n+1}$ implica aquí que $U_n$ es un subinterval.
Por lo tanto, podemos elegir la disminución de $a_n$ y el aumento de la $b_n$ tal que $U_n$ es homeomorphically asignan a $(a_n, b_n)$.
A continuación, $\cup_nU_n$ será homeomórficos con $(\inf a_n, \sup b_n) $.
