Error potencial en el documento: "Cada entero positivo es la suma de tres palíndromos"

Question

Tal vez algunos de ustedes saben de el ingenioso truco que cada número puede ser dividido en tres palindrómicas números que se suman a dicho número. Como se describe en el artículo de aquí, que esto funciona tan lejos y tan bien, pero mirando más abajo en el papel que ver cinco algoritmos descritos para calcular el individuo palíndromos: Algoritmo V parece haber un error en el algoritmo de descripción (página 27), de lo contrario no se puede explicar la discrepancia. Se va como sigue:

The associated palindrome p1' of n' has 2*m-1 digits. This is only possible when n is of
the form n = 104... and n' = 103... In this special situation, we consider n' as of type 
B1 or B2 and apply Algorithm IV to n' (instead of Algorithm I).

Para cortar esta pregunta corto, usted puede buscar todos los alrededores de la información en el artículo.

Tomemos, por ejemplo, el número de $ n = 10409302$ en base 10. Esto significa que $ l = 8 $ e $ m = \lfloor \frac{l}{2} \rfloor = \lfloor \frac{8}{2} \rfloor = 4 $.

Algoritmo V se aplica desde $l$ es uniforme y bien $\delta_m = 0$ (true) o $\delta_{m-1} = 0$ (false).

El siguiente paso es restar $s$ (o $2s$) del número anterior, por lo que la condición por encima de los rendimientos falsa para ambas declaraciones: $ s = 10^m + 10^{m-1}$. Esto le da a $n' = n - s = 10398302$ para este ejemplo.

El único problema ahora es para que coincida con este nuevo número $n'$ a un determinado caso mencionado al comienzo del artículo... Bueno, el caso, según la clasificación es A5, ni B1 o B2 - claramente una contradicción con la descripción del algoritmo.

Lo siento si te estoy molestando a los chicos con este problema, esta es sólo la última parte que faltaba en mi recreación del algoritmo.

Answer 1

Esto no es una contradicción. La instrucción

En esta situación especial, consideramos que $n'$ como de tipo B1 o B2 y aplicar el Algoritmo de IV a $n'$ (en lugar del Algoritmo I)

le dice a ignorar la clasificación de $n' = 10398302$ (que es A5 en este caso) y pretender que es el B1 o B2 en su lugar. En este caso, pretendemos es B1 (correspondiente a A5) en lugar de B2 (correspondiente a A6).

Por lo que aplicar el Algoritmo de IV a escribir $n'= 10398302$ como la suma de los palíndromos $10011001+296692+90609$, y, a continuación, aumente el medio dígitos de $p_1$ escribir $n = 10409302$ como la suma de los palíndromos $10022001 + 296692 + 90609$.

Esencialmente, lo que pasa es que los números de la forma $103\dots$ , con un número par de dígitos pueden ser manejados por el Algoritmo I o Algoritmo IV; ambos trabajan. Generalmente, se clasifican como A5/A6 y aplicar el Algoritmo I. Esto funciona perfectamente, pero no se ajusta a nuestros propósitos, porque, a continuación, $p_1$ termina con un número impar de dígitos, y que no podemos modificar, como hicimos anteriormente. Así que en este caso, reclasificamos $n'$ como la B1/B2 y aplicar el Algoritmo IV, consiguiendo un palíndromo $p_1$ , con un número par de dígitos cuyo medio de dos dígitos puede ser incrementado.