Relación entre el orden de un elemento de un grupo y su carácter en un grupo simple

Question

Deje $\chi$ ser la representación de un grupo finito $G$. Deje $g \in G$ ser un elemento de orden 2. Si $G$ es un grupo simple, pero no cíclico de orden 2, demostrar que $\chi(g) \equiv \chi(1) \mod 4$. La prueba de que $\chi(g) \equiv \chi(1) \mod 2$ en cualquier grupo finito se puede encontrar aquí: Relación entre el orden de un elemento de un grupo y su carácter pero estoy teniendo problemas con la conexión de los dos. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Deje $\rho$ ser una representación que ofrezcan $\chi$. Entonces los autovalores de a$\rho(g)$ se $\pm 1$. Supongamos $m$ de ellos se $1$ e $n$ se $-1$. Por lo $\chi(g) = m-n$ e $\chi(1) = m+n$.

Si $\chi(g) \equiv 2 \bmod \chi(1)$, a continuación, $n$ es impar, y por lo $\det(\rho(g)) = -1$. Pero desde el mapa de $\tau:G \to {\mathbb C}^*$ definido por $\tau(g) = \det(\chi(g))$ es un grupo homomorphism con la imagen de un número finito de grupo cíclico, esto implicaría que $G$ tenía un subgrupo normal de índice $2$, contrario a la hipótesis.