Transformación de la integral a coordenadas polares

Question

Transformando a coordenadas polares, demuestre que

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x}\frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)} \,dy\,dx$$

Es igual a

$$ \int_{0}^{\pi/4}\frac{\log(\sqrt{2}\cos(\theta))}{\cos(2\theta)} d\theta$$

He probado el estándar $x=r\cos(\theta)$ etc. Y puede ver fácilmente que los límites para theta son $0,\pi/4$ con un boceto. Sin embargo, me cuesta calcular la integral que sale, que oscila $r$ de $r=0$ a $r=\frac{1}{\cos{\theta}}$ . Además, puedo integrar esto explícitamente usando la sustitución de tan, pero ¿eso ayuda?

Answer 1

Has convertido correctamente la región de integración y así tenemos:

\begin{align} I &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_1^{\sec(\theta)} \frac{1}{\left(1 + r^2\cos^2(\theta)\right)\left(1 + r^2\sin^2(\theta)\right)} \cdot r\:dr\:d\theta \\ \end{align}

Aplicando una descomposición parcial de la fracción llegamos a: \begin{align} I &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_1^{\sec(\theta)} \frac{1}{\left(1 + r^2\cos^2(\theta)\right)\left(1 + r^2\sin^2(\theta)\right)} \cdot r\:dr\:d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_1^{\sec(\theta)} \frac{1}{\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)}\left[\frac{\cos^2(\theta)}{1 + r^2\cos^2(\theta)} - \frac{\sin^2(\theta)}{1 + r^2\sin^2(\theta)} \right] r\:dr\:d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)}\int_1^{\sec(\theta)}\left[\frac{r\cos^2(\theta)}{1 + r^2\cos^2(\theta)} - \frac{r\sin^2(\theta)}{1 + r^2\sin^2(\theta)} \right]\:dr\:d\theta \\ &=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)}\cdot\frac{1}{2}\bigg[\ln\left|1 + r^2\cos^2(\theta) \right| + \ln\left|1 + r^2\sin^2(\theta) \right| \bigg]_1^{\sec(\theta)} \:d\theta \end{align}

¿Estás bien desde aquí?

Editar : El resto de la solución:

\begin{align} I &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)}\cdot\frac{1}{2}\bigg[\ln\left|1 + r^2\cos^2(\theta) \right| + \ln\left|1 + r^2\sin^2(\theta) \right| \bigg]_1^{\sec(\theta)} \:d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)}\cdot\frac{1}{2}\bigg[\ln(2) + \ln\left|\sec^2(\theta) \right| \bigg] \:d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos(2\theta)}\cdot\frac{1}{2}\ln\left|2\sec^2(\theta)\right|\:d\theta\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\ln\left| \sqrt{2}\sec(\theta)\right|}{\cos(2\theta)}\:d\theta \end{align}

Answer 2

¿Realmente hay que transformar primero esta integral doble utilizando coordenadas polares? Es mucho más fácil integrarla tal cual. Aquí \begin{align} \int_0^1 \int_0^x \frac{dy \, dx}{(1 + x^2)(1 + y^2)} &= \int_0^1 \left [\frac{\tan^{-1} y}{1 + x^2} \right ]_0^x \, dx\\ &= \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} \, dx\\ &= \frac{1}{2} \big{[} (\tan^{-1} x)^2 \big{]}_0^1\\ &= \frac{\pi^2}{32} \end{align}

Answer 3

O incluso más fácil que el argumento de omegadot, tenga en cuenta que este es el $x\ge y$ la mitad de $\left(\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}\right)^2$ es decir $\frac{(\pi/4)^2}{2}=\frac{\pi^2}{32}$ .