¿La intersección del subgrupo Frattini y un subgrupo Sylow está contenida en el subgrupo Frattini del subgrupo Sylow?

Question

Supongamos $G$ es un grupo finito, $P$ es un Sylow p-subgrupo de $G$. Es siempre verdadera, que $\Phi(G) \cap P$ es un subgrupo de $\Phi(P)$? Aquí $\Phi(G)$ es el Frattini subgrupo de $G$.

Me las arreglé para resolver el problema en los siguientes casos:

1. $P \cong C_{p^n}$ para algunos $n$. Entonces, porque si $p\mid |G|$, a continuación, $p\mid |G/\Phi(G)|$, $\Phi(G) \cap P \cong C_{p^m}$, donde $m < n$. Por lo tanto es un subgrupo de $\Phi(P)$.
2. $G$ es nilpotent. A continuación, $G$ es el producto directo de su Lento subgrupos: $G = Syl_{p_1}(G) \times … \times Syl_{p_n}(G)$. Por lo tanto $\Phi(G) = \Phi(Syl_{p_1}(G))\times … \times \Phi(Syl_{p_n}(G))$. Y eso significa que $\Phi(G) \cap P = \Phi(P)$

Sin embargo, no sé, ¿cómo resolver este problema en general.

Answer 1

Un contraejemplo es un nonsplit extensión de $G$ de primaria, grupo abelian $N$ orden $8$ por $H={\rm GL}(3,2)$, con la natural inducida por la acción de $H$ a $N$. Este es $\mathtt{SmallGroup}(1344,814)$ en los grupos pequeños de la base de datos.

Debido a que la extensión es nonsplit, tenemos $N \le \Phi(G)$ (de hecho son iguales). Pero si elegimos $P \in {\rm Syl}_2(G)$, a continuación, $N \not\le \Phi(P)$.