¿Podemos dividir un vector por otro vector? ¿Qué tal esto? $a = vdv/dx?$

Question

Mi profesor de física nos dijo que no podemos dividir los vectores, que la división de los vectores no tiene ningún significado o importancia física. ¿Qué tal esto? $$a = vdv/dx.$$ Dice que el vector de aceleración es igual a la velocidad (en función de $x$ ) veces $dv$ "dividido" por $dx$ .

Aquí ambos $dv$ y $dx$ son vectores. ¿Cómo puedo darle sentido? Porque la división de vectores no existe en la física, ¿verdad?

Answer 1

La declaración $a = v (dv/dx)$ sólo se mantiene en esa forma para el movimiento unidimensional, donde las cantidades $v$ y $x$ son sólo números en lugar de vectores. Se deduce de la regla de la cadena, si vemos $v$ en función de $x$ en lugar de en función de $t$ : $$ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx} v. $$

Si estás haciendo un movimiento 2D o 3D, todavía puedes hacer algo similar, pero tienes que dejar que $\vec{v}$ sea una función de $x$ , $y$ y $z$ ya que $\vec{v}$ puede cambiar al cambiar cada una de estas cantidades. Esto significa que hay que utilizar el cálculo multivariable para escribir una expresión equivalente. Por ejemplo, tenemos $$ a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{\partial v_x}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial v_x}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial v_x}{\partial z} \frac{dz}{dt} \\= \frac{\partial v_x}{\partial x} v_x + \frac{\partial v_x}{\partial y} v_y + \frac{\partial v_x}{\partial z} v_z. $$ Como puedes ver, nunca estamos "dividiendo por" todo el vector $\vec{x}$ cuando tomamos estas derivadas; sólo "dividimos por" sus componentes $x$ , $y$ o $z$ , que es una operación matemática válida.

Answer 2

Tu expresión no tiene sentido para vectores (no triviales), sólo para escalares (que son unidimensionales, es decir, vectores "triviales").

La expresión $a=v\frac{dv}{dx}$ sólo tiene sentido si $v$ y $x$ son ambas funciones de una dimensión a otra. Nunca verás la expresión $\vec{a}=\vec{v}\frac{d\vec{v}}{d\vec{x}}$ porque dicha operación no está definida.

En general, la multiplicación de vectores sólo está bien definida en determinadas circunstancias. Hay tres multiplicaciones de vectores que se utilizan habitualmente: el producto punto (que devuelve un escalar), el producto cruz (que devuelve un vector) y el producto tensor (que devuelve una matriz). El producto cruzado, además, sólo tiene sentido para vectores tridimensionales y septidimensionales (la razón de esto tiene que ver con la existencia de ciertas extensiones de los números complejos llamadas cuaterniones y octoniones).

La división de dos vectores en general no está definida, porque no es posible deshacer ninguno de los dos tipos de multiplicación vectorial. Por ejemplo, para cualquier vector, hay un número infinito de otros vectores cuyo producto punto con ese vector será cero (es decir, todos los vectores que son perpendiculares a él), y de forma similar, hay un número infinito de otros vectores cuyo producto cruz con ese vector será cero (es decir, todos los vectores que son paralelos a él). Definir una inversa requeriría una correspondencia uno a uno entre la entrada y la salida de esta multiplicación, por lo que definir la división no es estrictamente posible.

Dicho esto, definir diferenciación de los vectores es diferente, concretamente porque la diferenciación no implica dividir dos vectores . Para un vector que es una función del espacio $\vec{v}(\vec{x})$ En la actualidad, hay cuatro formas de definir la diferenciación:

• diferenciación por un parámetro escalar $t$ que se define para un $n$ -como vector de dimensiones:

$$\frac{d\vec{v}(\vec{x},t)}{dt}=\left\langle \frac{d v_1(\vec{x},t)}{d t},...,\frac{d v_n(\vec{x},t)}{d t}\right\rangle$$

• le site divergencia que se define para un $n$ -como vector de dimensiones:

$$\nabla \cdot \vec{v}(\vec{x})=\sum_{i=0}^n \frac{\partial v_i(\vec{x})}{\partial x_i}$$

• le site rizo que se define para vectores tridimensionales y de siete dimensiones, y, en tres dimensiones, en coordenadas cartesianas, es:

$$\nabla \times\vec{v}(\vec{x})=\left\langle\frac{\partial v_y(\vec{x})}{\partial z}-\frac{\partial v_z(\vec{x})}{\partial y},\frac{\partial v_z(\vec{x})}{\partial x}-\frac{\partial v_x(\vec{x})}{\partial z},\frac{\partial v_x(\vec{x})}{\partial y}-\frac{\partial v_y(\vec{x})}{\partial x}\right\rangle$$

• le site Matriz jacobiana $\frac{d\vec{v}(\vec{x})}{d\vec{x}}=J$ , cuyas entradas $J_{ij}$ vienen dadas por

$$J_{ij}=\frac{\partial v_i(\vec{x})}{\partial x_j}$$

Como puedes ver, ninguno de ellos implica dividir un vector por un vector; de hecho, todos ellos implican multiplicando un vector por otro vector, es decir, el vector de operadores de derivadas parciales $\nabla$ . Para la divergencia, se trata de un producto punto; para el rizo, de un producto cruzado; y para la matriz jacobiana, de un producto tensor.

Entonces, ¿cómo podemos reformular la expresión unidimensional de la aceleración para que tenga sentido en cualquier número de dimensiones? La clave es empezar con la definición básica, asumiendo, como tú has hecho, que no hay una dependencia temporal explícita para $\vec{v}$ :

\begin{align} \vec{a}(\vec{x})&=\frac{d\vec{v}(\vec{x})}{dt}\\ &=\left\langle \sum_{i=1}^n \frac{\partial v_1(\vec{x})}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t},...,\sum_{i=1}^n\frac{\partial v_n(\vec{x})}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t}\right\rangle\\ &=\left\langle \sum_{i=1}^n \frac{\partial v_1(\vec{x})}{\partial x_i}v_i,...,\sum_{i=1}^n\frac{\partial v_n(\vec{x})}{\partial x_i}v_i\right\rangle\\ &=(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \end{align}

No hay nada malo en diferenciar un vector, ya que no implica la división por un vector.

Answer 3

Bien, sabemos cómo multiplicar vectores, a través del producto punto $\vec a \cdot \vec b$ . Así que podríamos definir una división a través de:

$$ \frac{\vec a}{\vec b} \doteqdot \vec a \cdot \frac{1}{\vec b}. $$

Ahora tenemos que definir qué se entiende por $ \frac{1}{\vec b}$ . Bueno, y qué hay de:

$$ \frac{1}{\vec b} \doteqdot \frac{\vec b}{|\vec b|^2}. $$

Esta inversión de vectores da un nuevo vector con la misma dirección, pero con magnitudes recíprocas. De hecho, así es como definimos una inversión para otras cosas como la transformación conforme especial. Parece una definición tan buena como cualquier otra. Entonces la división de vectores se convierte en:

$$ \frac{\vec a}{\vec b} = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|^2} = \frac{|a|}{|b|}\cos\theta. $$

Esta división satisface lo que cabría esperar:

$$ \frac{\vec a}{\vec a} = 1, $$

pero a diferencia de la división habitual, la inversa de $\vec a$ no es único.

Answer 4

En primer lugar, hay que saber que $\frac{dy}{dx}$ no es realmente una división. Es el símbolo que representa la toma de la derivada de y con respecto a x. El símbolo parece una división porque eso resultó conveniente. Hay un notable número de casos en los que si se trata como si fuera una división, se obtiene la respuesta correcta. Sin embargo, no siempre funciona así, por lo que en realidad no se puede pensar en ello como una división.

Como otros han señalado, en los casos multivariables, en realidad cambiamos el símbolo a $\frac{\partial y}{\partial x}$ Recordando que el caso de las multivariables tiene unas cuantas cosas extra que hay que controlar. No se puede bastante utilizar las mismas ecuaciones de siempre. También usaremos símbolos como $\nabla\vec v$ para captar conceptos como ese.

Sin embargo, hay una conversación paralela que me parece muy fascinante, que es la de álgebras de división real . Son operaciones sobre campos de números reales (donde +, - y * hacen las operaciones que se esperan) en las que podemos definir con sentido la división. Los matemáticos son muy pedantes al respecto, por lo que definen que para cualquier A y B no nulo

• Hay exactamente 1 x tal que A = Bx
• Hay exactamente 1 y tal que A = yB

Se puede ver que cualquier significado razonable de la división tendrá que ser superpuesto a tal patrón.

Así que si consideramos estos campos reales, como (x), (x, y), (x, y, z), (x, y, z, w), etc. podemos intentar encontrar formas de definirlos de manera que esas dos reglas de división tengan sentido. Resulta que, debido a un pequeño teorema bastante inteligente La división puede sólo funcionan en casos de 1, 2, 4 y 8 dimensiones (o de infinitas dimensiones... pero esa es otra historia por completo).

• La dimensión 1 es la división "normal" a la que estamos acostumbrados.
• 2 dimensiones es división compleja -- división sobre números complejos
• 4 dimensiones es la división de cuaterniones -- división sobre cuaterniones (que resulta muy conveniente para trabajar con rotaciones)
• 8 dimensiones es la división del octonión

Y eso es todo. Esos son literalmente los únicos campos reales de dimensión finita que pueden admitir la división.

Esto significa que tu vector 3d no sólo no tiene un operador de división, sino que, de hecho, no hay forma posible de juntar 3 números reales para crear un álgebra de división con sentido. De hecho, ¡no se puede hacer!

Se puede demostrar que se puede definir una división vectorial 2d, pero que debe ser la misma (isométrica, técnicamente) que la división compleja, así que puedes preguntarte si tendría sentido pensar en tu vector como un número complejo o no. Si no tiene sentido, entonces no habrá una manera de hacer que la división tenga sentido tampoco.

Answer 5

Aunque estoy de acuerdo en que no hay forma de dividir los vectores, en general, es divertido pensar en las posibilidades creativas.

• En 2 dimensiones ( $\mathbb R^2$ ), podríamos tratar cualquier vector $(x,y)$ como un número complejo $x+iy$ donde $i=\sqrt{-1}$ y luego usar la división ordinaria de los números complejos (ver la respuesta de Cort Ammon, que se me adelantó en esta idea)
• En 3 dimensiones ( $\mathbb R^3$ ) podríamos utilizar el producto vectorial cruzado. Definir $\vec v/\vec w$ como el vector $\vec p$ tal que $\vec p\times\vec w=\vec v$ . Hmmm, pero pensándolo bien esto requiere $\vec v$ para ser ortogonal a $\vec w$ por lo que no parece muy útil. Si $\vec v=\vec 0$ el resultado no es único ya que cualquier vector paralelo a $\vec w$ será suficiente. (Tal vez este enfoque podría generalizarse tomando sólo el componente de $\vec v$ que es ortogonal a $\vec w$ ?)
• En $n$ dimensiones, la respuesta de Totofofo define $\vec w^{-1}$ como el vector que apunta en la misma dirección pero con magnitud inversa, y luego utiliza el producto punto $\vec v\cdot\vec w^{-1}$ para devolver un número. Esto requiere $\vec w\ne\vec 0$ .

Los conceptos de inversión y unicidad, etc., se estudian en el "álgebra abstracta", un área de las matemáticas que suele introducirse en el segundo año de universidad. Por ejemplo, una estructura con algún tipo de "suma" y "multiplicación" se llama anillo . Un tipo de anillo más bonito en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso se llama campo . (Esto es muy impreciso, animo a la gente a buscar los detalles específicos.) Nuestro primer ejemplo es un campo. El ejemplo 2 no tiene identidad multiplicativa.