¿Coinciden estos primos infinitos producto de serpiente?

Question

Forma una infinita producto de primer proporciones de la siguiente manera. Empezar con $$ \frac{2}{3}\cdot\frac{7}{5}=\frac{14}{15} \approx 0.93 \;. $$ Continuar alternando una fracción $< 1$ los tiempos de la próxima fracción $>1$, progresivamente a través de los números primos: $$ \frac{2}{3}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{11}{13}\cdot\frac{19}{17} = \frac{2926}{3315} \approx 0.88 \;, $$ $$ \frac{2}{3}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{11}{13}\cdot\frac{19}{17}\cdot\frac{23}{29}\cdot\frac{37}{31} =\frac{2490026}{2980185} \approx 0.83 \;. $$ Continuar este proceso a $\infty$. Una forma de escribir el producto es $$ \xi = \prod_{1,5,9,\ldots}^\infty \frac{p_i}{p_{i+1}}\cdot\frac{p_ {+3}}{p_ {+2}} $$ donde $p_i$ es el $i$-ésimo primo. Yo llamo a esto el de los números primos de la serpiente-producto:

---

         

---

Mis preguntas son:

Q1. ¿El producto convergen?

Q2. Si es así, a lo que el valor de $\xi$ lo hace converger?

Hasta el $1$millonésima prime ($15485863$), el producto es de alrededor de $0.9056$:

---

         

---

Actualización

(26Jan2019): @Pedro ha calculado a $p_i=10^{10}$ cuando el producto es $\approx 0.9048$.

Answer 1

Una muy extendida comentario explicando por qué este problema es probablemente difícil.

Deje $g_n=p_{2n}-p_{2n-1}$. El producto que estamos viendo es entonces $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{g_n}{p_{2n}}\right)^{(-1)^n}.$$ Tomando logaritmos, nos encontramos con una suma de la forma $$\sum_{n=1}^\infty\left((-1)^{n-1}\frac{g_n}{p_{2n}}+O\left(\left(\frac{g_n}{p_{2n}}\right)^2\right)\right).$$ El uso de los resultados debido a la Salud-Marrón en la segunda momentos en el primer lagunas (ver aquí), es decir, $\sum_{k=1}^ng_k^2=O(x^{7/6+\varepsilon})$, por sumación por partes podemos vinculado a la suma de los términos de error por un valor finito.

Por lo tanto nos quedamos con una corriente alterna suma de $g_n/p_{2n}$. Para lidiar con esto, lo que esencialmente tienen que mostrar las sumas $\sum_{n=1}^N(-1)^{n-1}g_n$ son asintóticamente menor que $p_{2N}$ (esto no garantiza la convergencia, pero sin duda queremos que celebrar). Usando la notación de este MO respuesta (y el papel de la cites), esta suma es igual a $S(2N;1,4)-S(2N;3,4)$. Lo que nos gustaría saber es que esta diferencia es $o(p_{2N})$. Así que usted puede ver que estamos llevar rápidamente a la investigación de asymptotics de $S(N;a,q)$. Conjecturally, tenemos $$S(N;a,q)\sim\frac{p_N}{q}$$ (de modo que las diferencias son, en cierto sentido, equidistributed), pero los límites son mucho más débiles. En los casos que nos interesan, solo podemos $$\liminf\frac{S(N;a,4)}{p_N}\geq\frac{1}{256}$$ incondicionalmente, e incluso de forma condicional en el primer tuplas conjetura llegamos $\geq 1/32$, mientras que lo que nos gustaría es que los límites existen y son iguales.

Por lo tanto, como se puede ver, los métodos disponibles no son capaces de mostrar que la diferencia de $S(2N;1,4)-S(2N;3,4)$ es asintóticamente pequeño.