Quiero demostrar que la función $f(x) := x^3$ para todos los reales $x$ define un homeomorfismo de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ . Pero me resulta difícil demostrar que el mapa inverso es continuo.
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Erik
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Supongamos que $x^{1/3}$ no es continua en algún $x_0\in\mathbb R$ Así que para algunos $\epsilon>0$ tenemos una secuencia $(x_n)$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = x_0$ Sin embargo, $|x_n^{1/3}-x_0^{1/3}|>\epsilon$ para todos $n$ . Debemos tener o infinitamente muchos $n$ tal que $x_n^{1/3}-x_0^{1/3}$ o infinitas $n$ de manera que sea negativa. Del mismo modo, o bien infinitamente muchos de estos $x_n$ son $\geq 0$ o infinitas son $\leq 0$ . Al reetiquetar nuestro $x_n$ podemos suponer que ninguno de estos signos cambia para cualquier $n$ . Me ocuparé del caso $x_n\geq 0$ para todos $n$ y dejarte el otro a ti. Si $x_n^{1/3}-x_0^{1/3}$ es positivo para todos los $n$ entonces $x_n^{1/3}>x_0^{1/3}+\epsilon$ así que $x_n>x_0+3x_0^{2/3}\epsilon+3x_0^{1/3}\epsilon^2+\epsilon^3\geq x_0+\epsilon^3$ para todos $n$ , contradiciendo el hecho de que $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=x_0$ . Si es negativo para todos $n$ entonces $x_0^{1/3}>x_n^{1/3}+\epsilon$ así que $x_0>x_n+3x_n^{2/3}\epsilon+3x_n^{1/3}\epsilon^2+\epsilon^3\geq x_n+\epsilon^3$ para todos $n$ , contradiciendo de nuevo el hecho de que $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=x_0$ . Así, $x^{1/3}$ es continua en cualquier $x_0\in\mathbb R$ Así que $x^{1/3}$ es continua.
