Let . Probar que .

Question

Iniquidad olimpiada

Deje que$x$,$y$ y$c$ sean números reales distintos. Demuestre que:$$\left(\frac{2x-y}{x-y}\right)^2+\left(\frac{2y-z}{y-z}\right)^2+\left(\frac{2z-x}{z-x}\right)^2 \geqslant 5.$ $

Esta es una tarea que recibí de un maestro. Me he quedado desconcertado por el signo negativo en el denominador.

¿Podría por favor darnos una idea de cómo resolvería esta desigualdad, por favor? (Aún no he resuelto, todavía tengo que entregar esta tarea, solo quiero recibir algunos consejos)

Answer 1

Este es un caso especial de la siguiente desigualdad:$$\sum_{a,b,c}\Big(\dfrac{ma-nb}{a-b}\Big)^2\geq m^2+n^2,$ $ donde$m,n\in\mathbb{R}$ y$a,b,c$ son reales distintos.

La prueba es simplemente completando el cuadrado: comience escribiendo$$\dfrac{ma-nb}{a-b} = m+(m-n)\dfrac{b}{a-b}$$ and $$\dfrac{mc-na}{c-a} = n+(m-n)\dfrac{c}{c-a}$ $ y deje el término medio sin tocar primero.

Avísame si aún necesitas más ayuda.

EDITAR: completar la sugerencia:$$\sum_{a,b,c}\Big(\dfrac{ma-nb}{a-b}\Big)^2-m^2-n^2 = \Big(\dfrac{mb-nc}{b-c}\Big)^2+(m-n)^2\Big(\dfrac{b^2}{(a-b)^2}+\dfrac{c^2}{(c-a)^2}\Big)+2(m-n)\Big(\dfrac{mb}{a-b}+\dfrac{nc}{c-a}\Big)=$ $$$=\Big(\dfrac{mb-nc}{b-c}\Big)^2+(m-n)^2\Big(\dfrac{b^2}{(a-b)^2}+\dfrac{c^2}{(c-a)^2}\Big)+2(m-n)\dfrac{bc(m-n)-a(mb-nc)}{(a-b)(c-a)}=$ $$$=\Big(\dfrac{mb-nc}{b-c}\Big)^2+(m-n)^2\Big(\dfrac{b^2}{(a-b)^2}+\dfrac{c^2}{(c-a)^2}+\dfrac{2bc}{(a-b)(c-a)}\Big)-\dfrac{2a(mb-nc)(m-n)}{(a-b)(c-a)}=$ $$$=\Big(\dfrac{mb-nc}{b-c}\Big)^2+(m-n)^2\Big(\dfrac{b}{a-b}+\dfrac{c}{c-a}\Big)^2 - \dfrac{2a(m-n)(mb-nc)}{(a-b)(c-a)}=$ $$$\Big(\dfrac{mb-nc}{b-c}\Big)^2+(m-n)^2\Big(\dfrac{a(c-b)}{(a-b)(c-a)}\Big)^2 - \dfrac{2a(m-n)(mb-nc)}{(a-b)(c-a)}=$$ $$=\Big(\dfrac{mb-nc}{b-c} - \dfrac{a(m-n)(c-b)}{(a-b)(c-a)}\Big)^2\geq 0.$ $

Answer 2

Empezar con \begin{eqnarray*} (2y^2z+2z^2x+2x^2y-yz^2-zx^2-xy^2-3xyz)^2 \geq 0 \end{eqnarray*} Esto puede ser ampliado para dar \begin{eqnarray*} 4 \sum_{cyc} y^2 z^4 -4 \sum_{cyc} y^3 z^3 +\sum_{cyc} y^4 z^2 -4 \sum_{cyc} x y z^4 +\\14 \sum_{cyc} xy^2 z^3 -10 \sum_{cyc} x y^3 z^2 -3x^2 y^2 z^2 \geq 0 \end{eqnarray*} Esto puede ser arreglado a \begin{eqnarray*} (2x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2+(x-y)^2(2y-z)^2(z-x)^2+(x-y)^2(y-z)^2(2z-x)^2 \geq 5(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2 \end{eqnarray*} Ahora divida por $(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2$ y hemos \begin{eqnarray*} \frac{(2x-y)^2}{(x-y)^2}+\frac{(2y-z)^2}{(y-z)^2}+\frac{(2z-x)^2}{(z-x)^2} \geq 5. \end{eqnarray*}

Editar: Me abrí paso hacia atrás desde el resultado, el uso de la "reducir" el álgebra paquete. Entonces me adivinó un cuadrado que "consumen" algunos de los términos y tuve suerte !

(2*x-y)^2*(y-z)^2*(z-x)^2+(x-y)^2*(2*y-z)^2*(z-x)^2+(x-y)^2*(y-z)^2*(2*z-x)^2-5*(x-y)^2*(y-z)^2*(z-x)^2;

(2*(y^2*z+z^2*x+x^2*y)-(yz^2+zx^2+x*y^2)-3*xyz)^2;

Answer 3

Queremos minimizar $$ \begin{align} &\underbrace{\left(\frac{mx-ny}{x-y}\right)^2}_{\left(\frac{m+n}2+\frac{m-n}2\frac{x+y}{x-y}\right)^2}+\underbrace{\left(\frac{my-nz}{y-z}\right)^2}_{\left(\frac{m+n}2+\frac{m-n}2\frac{y+z}{y-z}\right)^2}+\underbrace{\left(\frac{mz-nx}{z-x}\right)^2}_{\left(\frac{m+n}2+\frac{m-n}2\frac{z+x}{z-x}\right)^2}\tag{1} \end{align} $$ Dejar $$ u=\frac{x+y}{x-y}\quad v=\frac{y+z}{y-z}\quad w=\frac{z+x}{z-x}\etiqueta{2} $$ transforma minimizar $(1)$ en la minimización de $$ \left(\frac{m+n}2+\frac{m-n}2u\right)^2+\left(\frac{m+n}2+\frac{m-n}2v\right)^2+\left(\frac{m+n}2+\frac{m-n}2w\right)^2\tag{3} $$ donde $$ \underbrace{\log\left(\frac{u-1}{u+1}\right)}_{\log\left(\frac yx\right)}+\underbrace{\log\left(\frac{v-1}{v+1}\right)}_{\log\left(\frac zy\right)}+\underbrace{\log\left(\frac{w-1}{w} {+1}\right)}_{\log\left(\frac xz\right)}=0\etiqueta{4} $$ Por lo tanto, todas las variaciones que mantener el $(4)$; es decir, $$ \frac{\delta u}{u^2-1}+\frac{\delta v}{v^2-1}+\frac{\delta w}{w^2-1}=0\etiqueta{5} $$ queremos minimizar $(3)$; es decir, $$ \left(\frac{m+n}2+\frac{m n}2u\right)\delta u+\left(\frac{m+n}2+\frac{m n}2v\right)\delta v+\left(\frac{m+n}2+\frac{m n}2\right)\delta w=0\etiqueta{6} $$ Ortogonalidad requiere que para satisfacer $(6)$ todas las variaciones que satisfacer $(5)$ hay un $\lambda$, de modo que $$ \begin{align} \lambda &=\left(u^2-1\right)\left(\frac{m+n}2+\frac{m-n}2u\right)\\ &=\left(v^2-1\right)\left(\frac{m+n}2+\frac{m-n}2v\right)\\ &=\left(w^2-1\right)\left(\frac{m+n}2+\frac{m-n}2w\right) \end{align}\etiqueta{7} $$ Es decir, $u,v,w$ son raíces de $$ x^3+\frac{m+n}{m n}x^2-x-\frac{m+n+2\lambda}{m n}=0\etiqueta{8} $$ La suma de las raíces de la $(8)$ es $$ -\frac{m+n}{m n}\etiqueta{9} $$ y la suma de los cuadrados de las raíces de la $(8)$ es $$ \left(\frac{m+n}{m n}\right)^2+2\etiqueta{10} $$ La aplicación de $(9)$ $(10)$ $(3)$de los rendimientos que el mínimo es de $$ 3\frac{(m+n)^2}4-\frac{m^2-n^2}2\frac{m+n}{m-n}+\frac{(m-n)^2}4\left[\left(\frac{m+n}{m-n}\right)^2+2\right]=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{m^2+n^2}\etiqueta{11} $$

Answer 4

Creo que nuestra desigualdad es cierta para todos los reales$x$,$y$ y$z$, tal que$(x-y)(x-z)(y-z)\neq0$.

De hecho, si$z=0$ entonces$$\sum_{cyc}\frac{(2x-y)^2}{(x-y)^2}=\frac{(2x-y)^2}{(x-y)^2}+5\geq5.$ $

Deje que$xyz\neq0$,$\frac{2x-y}{x-y}=a$,$\frac{2y-z}{y-z}=b$ y$\frac{2z-x}{z-x}=c$.

Por lo tanto,$(2-a)x=(1-a)y$,$(2-b)y=(1-b)z$ y$(2-c)z=(1-c)x$, lo que da$$(2-a)(2-b)(2-c)xyz=(1-a)(1-b)(1-c)xyz$ $ o$$(2-a)(2-b)(2-c)=(1-a)(1-b)(1-c)$ $ (ahora, intente probar la desigualdad inicial por sí mismo sin ver el descansa) o$$7-3(a+b+c)+ab+ac+bc=0$ $ o$$14-6(a+b+c)+2(ab+ac+bc)=0$ $ o$$5+9-6(a+b+c)+(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2$ $ o$$a^2+b^2+c^2=5+(a+b+c-3)^2,$ $ que da$$a^2+b^2+c^2\geq5$ $ ¡y hemos terminado!