Encontrar una matriz$5\times5$ tal que su suma y su inverso sea una matriz$5\times 5$ con cada entrada$1$.

Question

¿Cómo puedo hacer esta pregunta:

¿Es posible encontrar una matriz invertible$5 \times5$$B$ sobre$\mathbb Z_2$ tal que:

$B+B^{-1}=5\times5$ matriz donde cada elemento es$1$

de todos modos, asumo que la pregunta requiere una prueba si tal matriz$B$ no existe y funciona / solución (¿quizás?) si existe$B$

¡Gracias!

Answer 1

No, esto no es posible. Indica la matriz todo en uno por$E$. Si$B+B^{-1}=E$, entonces$BE=B^2+I=EB$. Por lo tanto,$B^2+I$ tiene columnas idénticas y filas idénticas. Por lo tanto, ya sea$B^2+I=0$ o$B^2+I=E$.

1. En el primer caso, ¿qué es$BE$? ¿Por qué este caso es imposible?
2. En el segundo caso, ¿qué son$BE,\ B^{-1}E$ y$E(B+B^{-1})E$? ¿Cómo violan la condición de que$B+B^{-1}=E$?

Answer 2

Como user1551 hice, deje $E$ ser el Atila de la matriz. Al $n$ es impar, la ecuación de $B+B^{-1}=E$ no tiene soluciones. Sin embargo, cuando se $n$ es INCLUSO, existen.

De hecho, $E^2=0_n$, $rank(E)=1$ y $E$ es similar a $diag(J_2,0_{n-2})$ donde $J_2$ es el nilpotent Jordania bloque de dimensión $2$. Si $\lambda\in spectrum(B)$, $\lambda+1/\lambda=0$ $\lambda=1$ es la única solución en $K$, la clausura algebraica de $\mathbb{F}_2$. Por lo tanto $B=I_n+N$ donde $N$ es nilpotent y $E=(I+N)+(I-N+N^2-\cdots)=N^2-N^3+\cdots$; de $rank(E)=1=rank(N^2)$, podemos deducir que $N^3=0$$E=N^2$. Por lo tanto $B^2+I=BE=EB=E$; es decir, cuando asumimos que $B\in M_n(K)$, se obtiene el mismo ecuaciones como al $B\in M_n(\mathbb{F}_2)$; por supuesto, hay muchas más soluciones a través de $K$.

Por ejemplo, para$n=4$, $12$ soluciones sobre $\mathbb{F}_2$, como este: $B=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}$.

EDIT. Acerca de la ecuación de $E=N^2$, el desconocido $N$ debe ser similar a $diag(J_3,U_1,\cdots,U_p,0_{n-2p-3})$ donde $U_i=J_2$.