Expliquemos primero por qué esa fórmula da siempre $\pm1$ .
Primero hagamos la observación de que $f(x,x)=0$ para todos $x\in V$ . Esto se debe a que $$ q(x+x)=q(x)+q(x)+f(x,x), $$ y aquí $q(x+x)=q(0)=0$ y $q(x)+q(x)=2q(x)=0$ .
Dejemos entonces que $$ Arf(q)=\frac1{\sqrt{|V|}}\sum_{x\in V}(-1)^{q(x)}. $$ Entonces obtenemos $$ Arf(q)^2=\frac1{|V|}\sum_{x\in V}\sum_{y\in V}(-1)^{q(x)}(-1)^{q(y)}. $$ Aquí tenemos $$ (-1)^{q(x)}(-1)^{q(y)}=(-1)^{q(x)+q(y)}=(-1)^{q(x+y)+f(x,y)}. $$ Tomemos $z=x+y\in V$ como una nueva variable. Como $(x,y)$ gama sobre $V\times V$ también lo hacen $(x,z)$ por lo que obtenemos (resolviendo $y=z-x=z+x$ ) $$ Arf(q)^2=\frac1{|V|}\sum_{z\in V}\left((-1)^{q(z)}\sum_{x\in V}(-1)^{f(x,z+x)}\right). $$ Aquí, en la suma interna $$ f(x,z+x)=f(x,z)+f(x,x)=f(x,z). $$ Si el valor fijo de $z$ en la suma interna es $\neq0$ , entonces la forma $f(x,z)$ toma ambos valores, $0$ y $1$ , con la misma frecuencia por la no-degeneración de $f$ . Por otro lado, si $z=0$ entonces $f(x,z)=f(x,0)=0$ para todos $x\in V$ . Por lo tanto, la suma interna (sobre $x$ ) es igual a cero, a menos que $z=0$ en cuyo caso la suma interna es igual a $|V|$ . Así que al final obtenemos $$ Arf(q)^2=\frac{|V|}{|V|}(-1)^{q(0)}=(-1)^0=1. $$ Por lo tanto, esta definición de la invariante de Arf siempre da $(-1)^\epsilon,$ con $\epsilon\in\{0,1\}$ . Me atrevo a suponer que el (¿más común?) Arf-invariante es justo ese exponente $\epsilon$ . Tengo que indagar un poco más para recordar cómo se consigue utilizando una base simpléctica.
[Editar]: Supongamos que $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , $b_1,b_2,\ldots,b_n$ es una base simpléctica del espacio cuadrático $V$ . En otras palabras, tenemos $f(a_i,a_j)=f(b_i,b_j)=0$ , $f(a_i,b_j)=\delta_{ij}$ .
Un vector arbitrario $v\in V$ puede escribirse utilizando la base simpléctica como $$ v=\sum_{i=1}^nx_ia_i+\sum_{j=1}^ny_jb_j $$ con coordenadas $x_i,y_j\in\{0,1\}$ para todos $i,j$ . La aplicación repetida de la relación entre $q$ y $f$ así como nuestras suposiciones nos permiten entonces evaluar $q(v)$ sea igual a (recuerde que siempre $x_i^2=x_i$ y $y_j^2=y_j$ Así que $q(x_ia_i)=x_i^2q(a_i)=x_iq(a_i)$ etc.) $$ \begin{aligned} q(v)&=q(\sum_i x_i a_i+\sum_j y_jb_j)\\ &=q(\sum_i x_i a_i)+q(\sum_j y_j b_j)+f(\sum_i x_ia_i,\sum_j y_jb_j)\\ &=\sum_i x_iq(a_i)+\sum_i y_iq(b_i)+\sum_i x_iy_i\\ &=\sum_i (x_i+q(b_i))(y_i+q(a_i))+\sum_i q(a_i)q(b_i). \end{aligned} $$
Escriba $x_i'=x_i+q(b_i)$ , $y_i'=y_i+q(a_i)$ . Como todas las coordenadas $x_i$ , $y_i$ , $i=1,2,\ldots,n$ , rango sobre $\mathbb{F}_2$ también lo hacen $x_i',y_i'$ . Por lo tanto, $$ \begin{aligned} Arf(q)&=\frac1{2^n}\sum_{x_1,x_2,\ldots,x_n\in\mathbb{F}_2}\sum_{y_1,y_2,\ldots,y_n\in\mathbb{F}_2}(-1)^{q(\sum_i x_i a_i+\sum_j y_jb_j)}\\ &=\frac1{2^n}(-1)^{\sum_iq(a_i)q(b_i)} \sum_{x_1',x_2',\ldots,x_n'\in\mathbb{F}_2}\sum_{y_1',y_2',\ldots,y_n'\in\mathbb{F}_2}(-1)^{x_1'y_1'+x_2'y_2'+\cdots x_n'y_n'}\\ &=(-1)^{\sum_{i=1}^nq(a_i)q(b_i)}. \end{aligned} $$ En el último paso he utilizado el hecho, fácil de demostrar, de que la suma interna con el producto interno habitual que implica coordenadas primadas da un total $2^n$ . La prueba es similar a la que hice antes con la suma interna.
Así, su definición de la invariante de Arf es, como se sospecha, igual a $(-1)^\epsilon$ , donde $\epsilon$ es la invariante de Arf de la fuente dada por Colin McQuillan (+1).
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