Desviación estándar de la media ponderada

Question

¿Cómo se encuentra la desviación estándar de la media ponderada?

Se define la media ponderada: $\bar{x}_w = \frac{\sum{wx}}{\sum{w}}$

Se define la desviación estándar ponderada (como no se especifica, la tomo como de la distribución):

$$s_w = \sqrt{\frac{N'\sum_{i=1}^N {w_i(x_i-\bar{x}_w)^2}}{(N'-1)\sum_{i=1}^N{w_i}}},$$

donde $N'$ es el número de pesos no nulos, y $\bar x_w$ es la media ponderada de la muestra ( fuente )

Para una muestra no ponderada, el cálculo de la desviación estándar de la media a partir de la desviación estándar de la distribución es descrito en Wikipedia .

¿Cómo se calcula para la media ponderada y cómo se obtiene la expresión?

Answer 1

La media ponderada $\bar x=\frac{\sum\limits_{i=1}^n w_ix_i}{\sum\limits_{i=1}^n w_i}$

En primer lugar, vamos a encontrar su varianza (supongamos que $Var(x) =\sigma^2 $ ):

$$Var(\bar x)=Var\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n w_ix_i}{\sum\limits_{i=1}^n w_i}\right)=\frac{1}{\left (\sum\limits_{i=1}^n w_i \right)^2}Var\left(\sum\limits_{i=1}^n w_ix_i\right)=\frac{1}{\left (\sum\limits_{i=1}^n w_i \right)^2}\sum\limits_{i=1}^n Var\left( w_ix_i\right)=\\=\frac{\sum\limits_{i=1}^n w_i^2}{\left (\sum\limits_{i=1}^n w_i \right)^2}\sigma^2$$

Saca la raíz cuadrada de la expresión y obtienes la desviación estándar de la media.

Answer 2

Creo que su respuesta es

$$\frac{\sum w_i(\theta_i-\bar{\theta})(\theta_i-\bar{\theta})'}{\sum w_i}$$

Answer 3

Para entender lo que hacen los pesos, supongamos que los pesos son todos enteros (si son racionales se puede multiplicar el LCM de los denominadores). Para simplificar, supongamos que tenemos 3 puntos de datos con pesos 2, 3 y 5.

Su media es entonces $$ \frac{2 x_1 + 3 x_2 + 5 x_3}{2 + 3 + 5} $$

Ahora suponga que vuelve a su $3$ puntos de datos y quiere hacer $x_3$ importante (es decir, sesgar la media hacia $x_3$ ). Una forma de hacerlo es maquillaje datos adicionales escribiendo $x_3$ 5 veces. Se hace lo mismo para $x_2$ salvo que lo escribas tú $3$ tiempos y $x_1$ dos veces.

En concreto, supongamos que $x_1=1$ , $x_2=0$ , $x_3=8$ .

$$ \text{Unweighted mean} = \frac{1+0+8}{3} = 3 $$ Con las pesas, sus datos son ahora $\left[1,1, 0,0,0,8,8,8,8,8\right]$ . Así que su media ponderada es $$ \text{Weighted mean} = \frac{1+1+0+0+0+8+8+8+8+8}{10} = 4.2$$ Vea cómo la media se desplazó de $3$ hacia $8$ para convertirse en $4.2$ .

Las ponderaciones son una forma de hacer que algunos datos sean más importantes que otros.