¿Cómo se trata el material condicional en Deducción Natural?

Question

Estoy confundido por la definición del condicional material.

En la implementación de mi proposicional, la lógica, tengo la siguiente definición del material condicional:

$$\frac{P\to{Q}}{\neg(P\land\neg{Q})}\quad\small\text{[MaterialConditionalElimination]}$$

$$\frac{\neg(P\land\neg{Q})}{P\to{Q}}\quad\small\text{[MaterialConditionalIntroduction]}$$

Que debo que esta es una definición que ya hay (eficacia), bi-direccional de la regla de inferencia. Es decir, cada vez que encuentro a $\neg(P\land\neg{Q})$ puede reemplazarlo por $P\to{Q}$ y vice-versa.

Sin embargo, de acuerdo a la Wikipedia, sólo la primera de estas normas se encuentra en un mínimo de lógica. Pero no veo cómo se puede derivar la segunda de la primera, con la incorporación del principio de explosión. Además, es la segunda que sirve, si una regla sólo puede ser tomado como una definición, porque esa es la regla que introduce el nuevo $\to$ conectivo.

Actualización: parece que el material condicional no encuentra su camino en lógica proposicional cuando se define en este natural deductivo estilo. Por lo tanto, he sacado de la mencionada aplicación.

Actualización: Bueno, parece que no, pero sólo en la clásica de nivel. En este nivel, sin embargo, es equivalente a la consecuencia lógica $\Rightarrow$ y por lo tanto estoy optando por dejarlo fuera todavía.

Answer 1

La implicación signo no denota material implicación en intuitionistic lógica. La página de la Wikipedia no dice lo que piensa. Se dice que el $\lnot P \lor Q$ (no $\lnot (P \land \lnot Q)$) conlleva $P \to Q$ en intuitionistic lógica, pero no en un mínimo de lógica (lo cual es cierto, pero a la inversa vinculación no es comprobable en intuitionistic lógica). En intuitionistic lógica (y, por tanto, también en un mínimo de lógica) $\lnot P \lor Q$ no es equivalente a $\lnot(P \land \lnot Q)$ y ninguno de estos es equivalente a $P \to Q$.

A ver que $\lnot P \lor Q$ es estrictamente más fuerte que $P \to Q$ en intuitionistic lógica, tome $P \equiv Q$ $P$ una variable, a continuación, $P \to P$ es demostrable, pero $\lnot P \lor P$ expresa la intuitionistically inaceptable de la ley del medio excluido. A ver que $P \to Q$ es estrictamente más fuerte que $\lnot(P \land \lnot Q)$, tome $Q$ a ser una variable y tome $P = \lnot\lnot Q$, $\lnot(\lnot\lnot Q \land \lnot Q)$ es demostrable, pero $\lnot\lnot Q \to Q$ es el intuitionistically inaceptable principio de la doble negación de la eliminación.

Answer 2

Permítanme responder a mi propia pregunta, aunque estoy lejos de ser seguro de que tengo razón. Tal vez esto es sólo otra manera de preguntar.

La primera regla, la introducción de la regla...

$$ \frac{\neg(P\de la tierra\neg{Q})}{P\{Q}} $$

...parece que debe ser tomado como un hecho en un mínimo de lógica. Esto es discutible, sin embargo, si consideras $\to$ a ser una primitiva de la lógica, y por lo tanto no requiere una regla para su definición.

Lo que Wikipedia dice es que, además, en un mínimo de lógica $P\to Q$ lógicamente conlleva $\neg(P\land\neg{Q})$. Creo que una manera de afirmar esto es en la forma de la segunda regla de inferencia, la eliminación de la regla:

$$ \frac{P\{P}}{\neg(P\de la tierra\neg{Q})} $$

Por lo tanto, las declaraciones de $P\to Q$ $\neg(P\land\neg{Q})$ puede ser visto como totalmente equivalentes, ya que disponen de un bi-direccional de la regla de inferencia.

Si el dibujo atención a esta equivalencia parece grosero, considere la posibilidad de que la introducción y eliminación de reglas no son generalmente simétricas de esta manera. Considere, por ejemplo, la introducción de la regla de consecuencia lógica:

$$ \frac{[P]\;...\;Q}{P\Rightarrow{Q}} $$

De inflexión de esta regla en su cabeza no es sensical, a pesar de que muchos (incluido yo) podría descuidadamente ver el antecendant y la consecuente como equivalente en el día a día de uso. Sin embargo, por supuesto, la correspondiente regla es que no la introducción de la regla acaba de encender su cabeza, es el Modus Ponens:

$$ \frac{P\Rightarrow{Q}\;\;P}{Q} $$

Por eso, las normas de que se trate con el material condicional parecen destacarse para mí en contra de todos los demás estándar (sea cual sea bastante que significa) reglas de lógica proposicional en la que parecen definir nada más que una equivalencia sintáctica.

Dicho de otra manera, me parece que $P\to Q$ puede ser visto como nada más que una forma abreviada conveniente para $\neg(P\land\neg Q)$ y es este uso para el cual estoy en busca de una aclaración.

Answer 3

Déjame tener otro ir al responder a la pregunta...

Si el formalismo es la deducción natural, parece ser que no hay lugar para el material condicional. La siguiente regla es no una determinada regla de la mínima lógica en deducción natural:

$$ \frac{\neg{(P\de la tierra\neg Q)}}{P\Q} $$

Por ejemplo, no hay lugar para el material condicional aquí:

https://www.cs.cornell.edu/courses/cs3110/2013sp/lectures/lec15-logic-contd/lec15.html

Mientras que es posible que no parecía una mala idea para definir $P\to Q$ como una abreviación de $\neg{(P\land\neg Q)}$, en tales sistemas, esto parece que nunca se realiza.

Por otro lado, lejos de la deducción natural, debemos considerar $\to$ como un primitivo que no puede ser definida en términos de otras conectivas. Por ejemplo, una de las formas del principio de la explosión se implementa así...

$$ \neg P\(P\Q) $$

...aquí:

https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_logic

Compare esto con la misma natural deductivo forma:

$$ \frac{\neg P}{P\Rightarrow Q} $$

Para comparar estos dos directamente, sin embargo, y por lo tanto a la conclusión de que la $\to$ es, en cierto sentido, la misma que tanto la consecuencia lógica y la inferencia, parecen estar mal.

Si decimos que la primera y la última de las reglas que se dan aquí son naturales deductivo estilo y la segunda regla es en el estilo Hilbert (no estoy completamente seguro de que no es sino la definición tendrá que ser suficiente por ahora), la lección parece ser que este tipo de comparaciones entre los estilos pueden dar lugar a errores de comprensión. Parece que no es correcto creer que es la misma lógica de debajo, para decirlo de una manera.

En Hilbert estilo lógicas tenemos el concepto de que el material condicional, la sola flecha, si es eso lo que decide adoptar (y muchos de los lógicos, de acuerdo con razón en este punto, y en insistir en que se debe simplemente ser referido como la implicación y no es el mismo que el material condicional) y es una primitiva de la lógica y no se define por ningún axioma. En deducción natural estilo lógica, por otro lado, tenemos la noción primitiva de inferencia y, junto con eso, la definición de consecuencia lógica, la doble flecha, que no es una primitiva de la lógica, y que definimos con el estándar de introducción y eliminación de reglas.

Por lo que no es el caso de que la deducción natural y Hilbert estilos son simplemente dos vistas de la misma lógica subyacente, y fue mi error creer que eran.

Mucha confusión surge porque cuando los lógicos suele hablar de mínima y intuitionistic lógica, se están refiriendo a la de Hilbert estilo, y no dejar esto en claro, aunque es perfectamente posible definir variantes de mínima y intuitionistic lógica en el natural deductivo estilo.

La confusión surge porque es permisible para definir el material condicional en el natural deductivo estilo, pero sólo para los clásicos de la lógica. Así que, de nuevo, fue mi error para agregar la introducción y eliminación de reglas para el material condicionada a un mínimo de lógica dada en el natural deductivo estilo. Yo no había tirado la introducción de la regla de la nada, mi error fue simplemente para agregarlo en el nivel mínimo, no el clásico. Y en la clásica de nivel de curso, es equivalente al de consecuencia lógica, la doble flecha, de todos modos, que yo por qué he omitido todavía.

Espero que esto aclara.