Cómo encontrar el valor de$x$ en$x^5=32$

Question

Entiendo que$2^5=32$, pero ¿cómo se haría para encontrarlo sin hacer ninguna conjetura (qué pasaría si los números fueran mucho mayores)?

Answer 1

MEDIANTE EL ANÁLISIS COMPLEJO

Tenemos

$$z^5=2^5\implies z=2e^{i2n\pi/5}$$

para $n=0, \pm 1, \pm 2$.

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\text{Thus the five roots are} \,\, 2,\, 2e^{\pm i2\pi/5},\,2e^{\pm i4\pi/5}}\tag 1$$

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FACTORORING UN POLINOMIO

Tenemos $x^5=32\implies x^5-2^5=0$.

Podemos, entonces, el factor de $x-2$ desde el lado izquierdo y escribir

$$x^5-2^5=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)=0 \tag 1$$

El cuarto grado de expresión en $(1)$ puede ser un factor en el producto de dos cuadráticas como

$$x^4+2x^3+4x^2+8x+16=(x^2+ax+4)(x^2+bx+4) \tag 2$$

donde por coincidencia de los coeficientes en $(2)$, nos encontramos con $a+b=2$$ab=-4$.

La solución para $a$ $b$ revela que $a=1+\sqrt{5}$ $b=1-\sqrt{5}$ donde el original polinomio se puede escribir como

$$x^5-2^5=(x-2)(x^2+(1+\sqrt{5})x+4)(x^2+(1-\sqrt{5})x+4) \tag 3$$

Finalmente, los términos cuadráticos en $(3)$ fácilmente puede ser factorizado como

$$x^2+(1+ \sqrt{5})x+4=\left(x-\frac{(1+\sqrt{5})+i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}\right)\left(x-\frac{(1+\sqrt{5})-i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}\right)$$

y

$$x^2+(1- \sqrt{5})x+4=\left(x-\frac{(1-\sqrt{5})+i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}\right)\left(x-\frac{(1-\sqrt{5})-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}\right)$$

Así, los cinco raíces de $x^5-2^5=0$

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{2,\, \frac{(1+ \sqrt{5})\pm i\sqrt{10- 2\sqrt{5}}}{2},\,\frac{(1- \sqrt{5})\pm i\sqrt{10+ 2\sqrt{5}}}{2}} \tag 4$$

donde las raíces en $(4)$ son la coordenada rectangular de la polar raíces en $(1)$.

Answer 2

Las otras respuestas son grandes y amplias, pero a partir de la formulación de su pregunta tengo la sospecha de que podría abrumar a usted en este momento. Esto no es una verdadera respuesta, pero supongo que es más a lo largo de las líneas de lo que usted está buscando.

Usted tiene que encontrar la $5^\text{th}$ raíz de $32$. Al igual que si usted tiene $x^2 = y$ tomar la raíz cuadrada de $y$ conseguir $x$, si usted tiene $x^n = y$, se toma el $n^\text{th}$ raíz de $y$ conseguir $x$. Esto corresponde a la crianza de $y$ a la potencia de $1/n$. En Google puedes escribir "32 ^ (1 / 5)" para resolver su ecuación. Una calculadora científica también permiten calcular poderes arbitrarios.

Por ahora, probablemente es suficiente para decir que teniendo en cuenta la 'normal' números que usted está familiarizado con, la ecuación de $x^n = y$ (donde $n$ es un número entero positivo y $y>0$) tiene una solución si $n$ es impar, y dos si $n$ es incluso. Empezar por la búsqueda de $y^\frac{1}{n}$. Si $n$ es impar, que es la única solución. Si $n$ es, incluso, la negativa de $y^\frac{1}{n}$ es también una solución. En el ejemplo anterior, $n=5$ era extraño, así que sólo había una solución. Pero como otro ejemplo, tome $x^4 = 16$. Entonces, la informática, la $16^\frac{1}{4}$ da $x=2$, pero tenga en cuenta que $x=-2$ es también una solución, porque la $(-2)^4 = 16$.

En el futuro, usted puede aprender acerca de los números complejos, que muestre que la ecuación de $x^n = y$ (donde $n$ es un número entero positivo y $y$ es cualquier número) tiene, en general, $n$ soluciones.

Answer 3

Dado un número real positivo $x$ $n$th raíz de $x$ se define como $y=\sqrt[n]{x}$ tal que $y^n=x$. también podemos utilizar un exponente racional para indicar ese $n$th raíz: $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$.

Así que la solución de la ecuación de $x^n=a$ es simplemente escriben $x=\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.

Si desea explícitamente evaluar la raíz cuando no es inmediata, puede utilizar logaritmos, con el hecho de que $\log x=\dfrac{\log a}{n}$. Años atrás (antes de los ordenadores) esta fue la manera estándar de hacer tales cálculos, usando la tabla de logaritmos (por lo general en base a $10$) por lo que , whan $\log_{10} x$ se determina a partir de las tablas, podemos encontrar $x=10^{\log_{10} x}$.

También hay una manera relativamente fácil y rápido algoritmo para calcular el $n$th raíz como se puede ver aquí.

Answer 4

Si los poderes son mucho mayores, usted puede recurrir a métodos numéricos como el Método de Newton. Por ejemplo, si queremos calcular $x = \sqrt[5]a$, tenemos que volver a escribir la ecuación como $f(x) = x^5 - a$. Entonces el método de Newton paso de la fórmula termina siendo $$\begin{align}x_{n+1} & = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\\ & = x_n - \frac{x^5_n - a}{5x_n^4} \\ & = \frac{a + 4x^5_n}{5x^4_n}\end{align}$$

Luego, con cualquier valor inicial $x_0$ (con la excepción de $x_0 = 0$ por razones obvias), repitiendo la fórmula para muchas iteraciones convergen a la respuesta. Así, por ejemplo, si queremos calcular $x = \sqrt[5]{28629151}$, entonces digamos que nuestra estimación inicial es $x_0 = 40$. A continuación,

$$x_1 = \frac{28629151 + 4(40)^5}{5(40)^4} \approx 34$$ El uso de este en la iteración fórmula... $$x_2 = \frac{28629151 + 4(34)^5}{5(34)^4} \approx 31.5$$ hacerlo una tercera vez... $$x_3 = \frac{28629151 + 4(31.5)^5}{5(31.5)^4} \approx 31.01$$ y de nuevo... $$x_4 = \frac{28629151 + 4(31.01)^5}{5(31.01)^4} \approx 31.000006$$ Así que parece que este es el cierre de 31. Y sucede que la $31^5 = 28629151$. Así que sí, si bien requiere de algunas adivinanzas, CUALQUIER valor distinto de cero supongo que usted comience con el tiempo llegará a la respuesta correcta. Esto significa que usted podría ser de plano WAAAY fuera y aún así obtener la respuesta correcta si usted acaba de seguir repitiendo la fórmula con la anterior respuesta que obtenga.

Si lo hacemos en $x = \sqrt[5]{32}$, entonces ocurre lo siguiente. Tal vez creo que la quinta raíz de 32 es de 5. Por lo $x_0 = 5$$a = 32$. Entonces $$x_1 = \frac{32 + 4(5)^5}{5(5)^4} \approx 4$$ $$x_2 = \frac{32 + 4(4)^5}{5(4)^4} \approx 3$$ $$x_3 = \frac{32 + 4(3)^5}{5(3)^4} \approx 2.5$$ $$x_4 = \frac{32 + 4(2.5)^5}{5(2.5)^4} \approx 2.1$$ $$x_5 = \frac{32 + 4(2.1)^5}{5(2.1)^4} \approx 2.009$$ $$x_6 = \frac{32 + 4(2.009)^5}{5(2.009)^4} \approx 2.00008$$

De esta manera, parece que la respuesta debe ser de 2. Y eso es lo que queremos.