Probar H se intersecta K es subespacio de H

Question

Supongamos que$H$ y$ K$ son subespacios del espacio vectorial$V$. ¿Cómo probar que$H\cap K$ es subespacio de$H$?

Answer 1

Para mostrar que algo es un subespacio usted tiene que demostrar tres cosas:

1. Es cerrado bajo la multiplicación escalar.
2. Es cerrado bajo la adición
3. Es no vacío

Voy a hacer (1), de modo que usted puede ver cómo va, usted tendrá que hacer (2) y (3) muestran que contiene $0$.

Para mostrar que $H \cap K$ es cerrado bajo la multiplicación escalar asumen $v \in H \cap K$ es un vector y $r$ es un escalar. Necesito mostrar que $rv$ está contenido en $H \cap K$.

Como $v \in H \cap K$ $H \cap K$ es exactamente el conjunto de los vectores de la figura en $H$ $K$ sabemos que $v$ contenida en $H$$K$. Se nos dice que $H$ es un subespacio y subespacios está cerrado bajo la multiplicación escalar de manera $v \in H$ implica $rv \in H$. Con el mismo tipo de argumento que usted puede conseguir $rv \in K$. Ahora $rv$ contenida en $H$$K$, por lo que, por definición,$rv \in H \cap K$. Esto demuestra que $H \cap K$ es cerrado bajo la multiplicación escalar.

Answer 2

Trátelos como grupos, y muestre que la intersección debe cerrarse bajo la suma, inversos. Luego muestre que este subgrupo está cerrado bajo combinación lineal.