"Superficie" de $k$ simplex en $\mathbb{R}^{k}$?

Question

Considere la posibilidad de la $k+1$ vértices $(x_1,\ldots,x_{k+1})$$x_i\in\mathbb{R}^k,i=1,\ldots,k+1$. Sé que el "volumen" de la $k$-dimensiones simplex formado por estos vértices es proporcional a

$$\left|\det\left( \begin{array}{ccc} 1 & \ldots & 1 \\ x_1^{\top} & \ldots & x_{k+1}^{\top} \end{array} \right)\right|$$

Mi pregunta es: ¿cuál es la fórmula para calcular la superficie de la "zona" de la simple formado por $(x_1,\ldots,x_{k})$ en términos de determinantes de estos vértices?

Editar:

Un ejemplo para hacerlo más intuitivo.

Si supongamos $k=3$, entonces estoy buscando el área del triángulo con vértices $(x_1,x_2,x_3)$ (que es una de las 4 caras del tetraedro con vértices $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ cuyo volumen es proporcional a:

$$\left|\det\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_1^{\top} & x_2^{\top} & x_3^{\top} & x_{4}^{\top} \end{array} \right)\right|$$

)

Answer 1

Supongamos que $v_1,\ldots,v_m\in\mathbb{R}^k$. El $m$-dimensiones volumen del paralelepípedo generado por estos vectores pueden ser calculadas de forma que sus Gram-determinante.

El volumen del paralelepípedo es $$ \sqrt{\det\begin{pmatrix} v_1\cdot v_1 & \dots & v_1\cdot v_m \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_m\cdot v_1 & \dots & v_m\cdot v_m \\ \end{pmatrix}}. $$

El volumen del simplex, que es el casco convexo de $0,v_1,\ldots,v_m$ es $$ \frac1{m.} \sqrt{\det\begin{pmatrix} v_1\cdot v_1 & \dots & v_1\cdot v_m \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_m\cdot v_1 & \dots & v_m\cdot v_m \\ \end{pmatrix}}. $$

Answer 2

El área de la superficie es sólo la suma de los $k-1$ dimensiones de los volúmenes de las caras. Si usted piensa que en tres de espacio, la superficie de un tetraedro es la suma de los 2 volúmenes (áreas) de las caras. Así que el área de la superficie $$\sum\left|\det\left( \begin{array}{ccc} 1 & \ldots & 1 \\ x_1^{\top} & \ldots & x_{k+1}^{\top} \end{array} \right)\right|$$ donde hay $k+1$ términos en la suma. Cada término se elimina una de las $x_i$, por lo que el determinante es de orden $k$. Para cada término de la suma, usted necesita encontrar un hyperplane de dimensión $k-1$ que la cara se vive en, a continuación, encontrar las coordenadas de los puntos correspondientes en que hyperplane, a continuación, tomar el determinante.