Prueba de que el intervalo y el plano no son homeomorfos.

Question

Intenté probar esto por contradicción. Asumí que hay un homeomorfismo$f: (0,1) \longrightarrow \mathbb{R^2}$. Un submapa$ab(f): (0,1)\setminus\{\frac{1}{2}\} \longrightarrow \mathbb{R^2}\setminus\{f(\frac{1}{2})\} $ (también es homeomorfismo). Es obvio que el primer espacio no es espacio conectado, pero estoy muy confundido acerca de$\mathbb{R^2}\setminus\{f(\frac{1}{2})\}$. Por lo que entiendo, es algo como un avión con un agujero, pero no puedo probar que este espacio esté conectado.

Me complacería que me ayude con la prueba de este hecho o si me da algunos consejos sobre mi pregunta original.

Answer 1

Pues puedes mostrar, que siempre hay un camino que conecta dos puntos.

Answer 2

Aquí están algunos de los argumentos tradicionales, que esperemos que se ilumine por qué camino-la conexión es mucho más elemental para su uso en una situación como esta.

A pesar de que pudiera parecer fácil mostrar que $\mathbb{R}^{2}\setminus\{f(\frac{1}{2})\}$ está conectado mediante el hecho de que $\mathbb{R}^{2}$ está conectado, un sencillo ataque puede fallar como uno de alguna manera las necesidades de uso de la dimensión de $\mathbb{R}^{2}$. Y esto podría ser difícil. Demasiado genérico argumentos no llevan a ninguna parte, como por ejemplo, $\mathbb{R}^{1}\setminus\{x\}$ no está conectado apesar $\mathbb{R}^{1}$ es. Uno podría proceder por ejemplo, por cualquiera de las siguientes maneras.

1. Hay un resultado (por ejemplo, en Hurewicz, Wallman - Dimensión de la Teoría De 1948, Teorema IV 4.) que los estados que $\mathbb{R}^{n}$ (o de hecho cualquier $n$-dimensiones del colector) no puede ser desconectado por un subconjunto de dimensión topológica $\leq n-2$. El singleton $\{f(\frac{1}{2})\}$ es cero dimensional.

2. Otro de los resultados en el mismo libro afirma que si $U\subseteq \mathbb{R}^{n}$ es no-vacío, abierto y no denso (es decir, su complemento contiene un conjunto abierto), entonces la dimensión topológica de los límites de la $U$ es, precisamente, $n-1$ (Corolario 2 del Teorema IV 3). Ahora si $\mathbb{R}^{2}\setminus\{f(\frac{1}{2})\}$ fue desconectado, entonces ya está abierto en $\mathbb{R}^{2}$, no existe la no-vacío discontinuo abrir conjuntos de $U_{1},U_{2}\subseteq \mathbb{R}^{2}$$U_{1}\cup U_{2}=\mathbb{R}^{2}\setminus\{f(\frac{1}{2})\}$. Mostrar que el límite de cada una de las $U_{i}$ está vacío o es igual a la de singleton $\{f(\frac{1}{2})\}$ y derivar una contradicción con el resultado anterior.

Estos son sólo para mostrar lo que uno puede hacer con un simple conexión argumentos. Pero, por supuesto, con la ruta de acceso-conexión es mucho más fácil en este caso, como en cualquiera de los dos puntos en $\mathbb{R}^{2}\setminus\{f(\frac{1}{2})\}$ se puede conectar con un camino continuo que es una composición correcta de las líneas que van a través de origen y una rotación. Utilice el hecho de que la ruta de conexión implica la conexión.

Answer 3

Usted debe saber que la ruta de acceso-conexión implica la conexión. He aquí un esbozo de la prueba de que siempre hay un camino entre dos puntos en $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$. Yo elija para quitar el $0$ para facilitar la notación, pero este argumento funciona exactamente de la misma manera que si eliminamos $f(1/2)$. Por supuesto, podría haber quitado $f^{-1}(0)$$(0,1)$, y, a continuación, usted termina con $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$. Independientemente, vamos a llegar a la prueba.

Tomar dos puntos cualesquiera $x,y \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$. Usando coordenadas polares, podemos escribir $x = (r_1, \theta_1)$$y = (r_2,\theta_2)$, y sin pérdida de generalidad $r_{2} \geq r_{1}$. Considere primero la ruta de acceso

$$\gamma_{1}(t) = (r_{1}, \theta_{2}t + (1-t)\theta_{1})$$

Desde $r_{1} \neq 0$, este camino no pasa por el origen. Tenga en cuenta que esta ruta comienza en $x = (r_{1},\theta_{1})$ y termina a las $(r_{1},\theta_2)$. A continuación, vamos a

$$\gamma_{2}(t) = (r_{2}t + (1-t)r_{1},\theta_{2})$$

Desde $r_{2} \geq r_{1}$, $r_{2}t + (1-t)r_{1}\geq r_{1} > 0$, por lo que esta ruta no pasa por el origen. Por otra parte, se inicia en $(r_{1},\theta_{2})$ y termina a las $(r_{2},\theta_{2}) = y$.

Si concatenar $\gamma_{2}$$\gamma_{1}$, es que si se ejecutan a lo largo de $\gamma_{1}$ al doble de la velocidad y, a continuación, ejecute a lo largo de $\gamma_{2}$ al doble de la velocidad, se obtiene un nuevo camino de $\gamma$ que va de $x$ $y$sin tocar el origen.

Answer 4

Deje que$I$ sea un intervalo. Entonces, las únicas curvas cerradas simples en$I$ son triviales (ya que una función continua uno a uno de$[0,1]$ a$I$ es necesariamente monotónica) mientras que hay muchas de esas curvas en el plano ( por ejemplo, un círculo).