Para operadores positivos invertibles$C\leq T$ en un espacio de Hilbert, ¿sigue eso$T^{-1}\leq C^{-1}$?

Question

Necesito el siguiente resultado. Creo que es bastante obvio, pero no sé cómo demostrarlo: Deje que$C, T : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ sean dos operadores invertibles positivos, limitados, autoadjuntos en un espacio de Hilbert$\mathcal{H}$ tal que$C \leq T$ . Luego sigue también que$T^{-1} \leq C^{-1}$. O tal vez esto incluso no es cierto? Si esto no es cierto, ¿puede alguien darme un contra-ejemplo o si es cierta alguna estrategia para resolver esto? Le estaría muy agradecido.

mika

Answer 1

Tenga en cuenta que$T \ge C$ iff$C^{-1/2} T C^{-1/2} \ge I$ iff$C^{1/2} T^{-1} C^{1/2} = (C^{-1/2} T C^{-1/2})^{-1} \le I$ iff$T^{-1} \le C^{-1}$