Demostrar o refutar: $99^{100}+100^{101}+101^{99}+1$ es un número primo

Question

Demostrar o refutar: $$99^{100}+100^{101}+101^{99}+1$$ es un número primo.

Mi idea: dejar que $100^{101}=x^{x+1}$ entonces $$99^{100}+100^{101}+101^{99}+1=(x-1)^{x}+x^{x+1}+(x+1)^{x-1}+1$$ es un número primo

Ya he resuelto el siguiente problema:

Demostrar que $$5^{100}+5^{75}+5^{50}+5^{25}+1$$ no es un número primo.

Dejemos que $x=5^{25}$ entonces $$x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+3x+1)^2-5x(x+1)^2$$

Tenga en cuenta que $$5x(x+1)^2=5^{26}(x+1)^2=[5^{13}(x+1)]^2$$

Pero para mi problema parece que no puedo utilizar este enfoque.

Answer 1

He aquí un sencillo script para calcular $a^b$ mod $p$ :

def powmod(a, b, p):
  if b==0: return 1
  tmp = powmod(a, b/2, p)**2
  if b%2!=0: tmp *= a
  return tmp%p

Para comprobar la divisibilidad de su función por $p$ , puedes usar:

def ck(p):
  val = powmod(99,100,p) + powmod(100,101,p) + powmod(101,99,p) + 1
  return (val%p == 0)

Finalmente, probando todos los números a través de $10^6$ para la divisibilidad:

>>> filter(ck, xrange(2,1000000))
[825277]

Así que no es primordial.

Answer 2

Un código de Mathematica similar es FactorInteger[99^100 + 100^101 + 101^99 + 1, 2] que devuelve $825277$ y $\frac{99^{100} + 100^{101} + 101^{99} + 1}{825277}$ .

Answer 3

Para promover Sage :

sage: a = 99^100 + 100^101 + 101^99 + 1
sage: N = 10^100
sage: for p in primes(N):
....:     if a % p == 0:
....:         print p
....:         break
....:         
825277