En el grupo simétrico$S_n$ e isomorfismo

Question

Yo uso Álgebra Abstracta por Dummit y Foote para el estudio de álgebra abstracta! En la página 120, sección 2, capítulo 4, hay un gran resultado en el formulario de mi punto de vista, lo que demuestra que, para cualquier grupo de $G$ de fin de $n$, $G$ es isomorfo a algunos de los subgrupos de $S_n$.

Mi pregunta: hay alguna forma para calcular el subgrupo de $S_n$ que es isomorfo a un grupo de $G$ ?

Quiero decir, si tenemos un grupo de $G$, ¿cómo podemos calcular el subgrupo de $S_n$ $G$ es isomorfo a ella ? mi pregunta es en general !

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la pregunta es editado !

Answer 1

La prueba de que el teorema dice exactamente cómo encontrar el subgrupo que usted está buscando. El número de los elementos de su grupo de$1$$n$. A la izquierda de la multiplicación por un elemento de su grupo, a continuación, corresponde a una permutación de los números.

Por ejemplo, el Klien $4$-grupo de es $\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2$ así que el número de elementos tales como:

1. $(0, 0)$
2. $(0, 1)$
3. $(1, 0)$
4. $(1, 1)$

Luego a la izquierda 'multiplicación' (en realidad, además en este caso) por $(1, 0)$ envía

• $(0, 0) \to (1, 0)$
• $(0, 1) \to (1, 1)$
• $(1, 0) \to (0, 0)$
• $(1, 1) \to (0, 1)$

Por lo tanto, de acuerdo a nuestra numeración el elemento $(1, 0)$ es enviado a la permutación $(1 \ 3)(2 \ 4)$. Del mismo modo se puede demostrar que los $(0, 1)$ es enviado a $(1 \ 2)(3 \ 4)$ bajo este mapa.

Answer 2

Encontrar un bijective mapa de $\varphi$ desde klein 4-grupo a $H$ tal que $\varphi$ satisface la homorphism de la propiedad:

Por ejemplo: supongamos $V$ denotar el Klein 4-grupo. A continuación encontrará una bijective asignación de la función de identidad de identidad, con $\phi: V \to H$ tal que

$$\forall a, b \in V, \;\varphi(ab) = \varphi(a)\circ\varphi(b)$$

donde $ab$ denota el producto de la operación de $V$, e $\circ$ denota permutación de la composición.

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En respuesta a su original pregunta...

Para encontrar el subgrupo de $S_n$ generado por $(12)(34)$$(13)(24)$, tomar los productos y los inversos para obtener el cierre. Habrá la identidad, cada uno de estos elementos, y el producto de estos elementos, que se $(14)(23)$. Cada elemento es su propio inverso. Así que tenemos un subgrupo $H \leq S_4$ orden $4$.

Con el procedimiento anterior, usted debería ser capaz de construir un isomorfismo por la correcta asignación de los elementos de $V$ a los elementos de $H$.