El grupo de

Question

Quiero saber algo de información sobre el grupo \begin{equation*} \frac{(1+p\mathbb Z_p)}{(1+p^{n}\mathbb Z_p)} \end {ecuación *} (el grupo de cociente).

¿Cuál es el orden de este grupo? Supongo que$p^{n-1}$ Pero, ¿cómo puedo probar esto?

¿Cómo se ve un elemento de este grupo?

$\mathbb Z_p$ es el anillo de los enteros p-adic.

Answer 1

Para describir los elementos de $(1+p\mathbf Z_p)/(1+p^n\mathbf Z_p)$ concretamente, se observa el $p$-ádico unidades $u$ $v$ que $|u/v -1|_p = |u-v|_p$, por lo que la multiplicación de la congruencia $u \equiv v \bmod (1+p^n\mathbf Z_p)$ es el mismo que el aditivo congruencia $u \equiv v \bmod p^n\mathbf Z_p$. Por lo tanto, usted puede pensar de los elementos del cociente grupo ordinario de la congruencia de las clases de $1+ a_1p+ a_2p^2 + \cdots + a_{n-1}p^{n-1} \bmod p^n\mathbf Z_p$ bajo la multiplicación, donde el $a_i$ $p$- ádico dígitos. Esto nos permite contar fácilmente el tamaño del cociente de grupo: cada una de las $a_i$ $p$ valores para el tamaño del grupo es $p^{n-1}$. (El mismo razonamiento muestra $(1+ p^m\mathbf Z_p)/(1+p^n\mathbf Z_p)$ $1 \leq m \leq n$ orden $p^{n-m}$: coset representantes de $1+ a_mp^m + \cdots + a_{n-1}p^{n-1} \bmod p^{n}\mathbf Z_p$.)

Esto no explica lo que la estructura del grupo es. Es cíclico? La respuesta resulta ser que sí , excepto cuando se $p = 2$$n \geq 3$. La mejor explicación de los usos de la $p$-ádico función exponencial, que converge en $p\mathbf Z_p$ $p \not= 2$ y en $4\mathbf Z_2$ ( $2\mathbf Z_2$ !) al $p= 2$.

Primero asuma $p \not=2$. A continuación, el $p$-ádico función exponencial es un grupo de isomorfismo $p\mathbf Z_p \rightarrow 1+p\mathbf Z_p$ que también es una isometría: $|e^x - e^y|_p = |x-y|_p$ todos los $x$$y$$p\mathbf Z_p$. En particular, para cualquier entero positivo $n$ tenemos $|e^x - 1|_p \leq 1/p^n$ si y sólo si $|x|_p \leq 1/p^n$. Por lo tanto el $p$-ádico función exponencial mapas de $p^n\mathbf Z_p$ a $1+p^n\mathbf Z_p$, lo $$p\mathbf Z_p/p^n\mathbf Z_p \cong (1+p\mathbf Z_p)/(1+p^{n}\mathbf Z_p).$$ El grupo en el lado izquierdo es isomorfo a $\mathbf Z_p/p^{n-1}\mathbf Z_p$ a través de la división por $p$, y que es cíclico de orden $p^{n-1}$.

Lo que si $p = 2$? En este caso, el grupo $(1+2\mathbf Z_2)/(1+2^n\mathbf Z_2)$ es no cíclico para$n\geq 3$, ya que hay más de un elemento de orden $2$: ver el$-1 \bmod 2^n\mathbf Z_2$$1+2^{n-1} \bmod 2^n\mathbf Z_2$. (Estos son diferentes para $n\geq 3$, pero son los mismos para $n= 1$ o $2$.) Nuestro trabajo anterior puede ser adaptado a este caso, pero tenemos que avanzar más en el grupo $1+2\mathbf Z_2$. El $2$-ádico función exponencial no convergen en $2\mathbf Z_2$ pero convergen en $4\mathbf Z_2$ y da un isomorfismo $4\mathbf Z_2 \rightarrow 1+4\mathbf Z_2$ que es un porcentaje ($2$- ádico isometría. Desde $1+ 2\mathbf Z_2 \cong \{\pm 1\} \times (1+4\mathbf Z_2)$ (topológico) de los grupos, se puede desarrollar un resultado de $p=2$ que es análogo al caso de la extraña $p$:$n\geq 2$, lo que hace que $1+2^n\mathbf Z_2 \subset 1+4\mathbf Z_2$, $$(1+2\mathbf Z_2)/(1+2^n\mathbf Z_2) \cong \{\pm 1\} \times ((1+ 4\mathbf Z_2)/(1+ 2^n\mathbf Z_2)) \cong \{\pm 1\} \times (4\mathbf Z_2/2^n\mathbf Z_2),$$ donde el segundo isomorfismo viene de la $2$-ádico exponencial (de derecha a izquierda) o $2$-ádico logaritmo (de izquierda a derecha). Ese último grupo es isomorfo a $\mathbf Z/2\mathbf Z \times \mathbf Z/2^{n-2}\mathbf Z$, que no es cíclico al $n\geq 3$.

La estructura de $(1+2\mathbf Z_2)/(1+2^n\mathbf Z_2)$ al $n = 1$ es trivial.

Answer 2

El mapa$1+p^i\mathbb Z_p \to \mathbb Z_p/p\mathbb Z_p,\ 1 + p^ia \mapsto a \bmod p$ tiene el kernel precisamente$1+p^{i+1}\mathbb Z_p$, así que$$(1+p^i\mathbb Z_p)/(1+p^{i+1}\mathbb Z_p) \cong \mathbb Z/p\mathbb Z.$$ Hence $ (1 + p \ mathbb Z_p) / (1 + p ^ n \ mathbb Z_p)$ is a successive extension of $ \ mathbb Z / p \ mathbb Z$, and indeed has order $ p ^ {n-1} $, como adivinaste. Esto no proporciona una respuesta completa sin embargo, lo siento.

Answer 3

El grupo $U_n:=1+p^n\mathbb{Z}_p$ es el núcleo de $U \to (\mathbb Z/p^n \mathbb Z)^*$, el mapa siendo el (sujective) proyección sobre el "n-ésima coordenada". Por lo tanto, usted tiene la exacta secuencias :

$$1\to U_1 \to U\to (\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z})^*\to 1, \quad (1) $$ $$ 1\to U_n \to U\to (\mathbb{Z}/ p^n \mathbb{Z})^* \to 1, \quad (2) $$

La primera secuencia nos da : $$ 1 \to U_1/U_n \to U/U_n \to (\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z})^*\to 1,\quad (3)$$ desde $U_n\subset U_1$ (teorema de isomorfismo).

Por otro lado, sabemos que (el uso de la secuencia (2)) que $$\vert U/U_n \vert = \vert (\mathbb{Z}/ p^n \mathbb{Z})^*\vert = \varphi(p^n)=(p-1)p^{n-1}$$ ( $\varphi$ es el de Euler ..). Finalmente,la última secuencia (3) da $\vert U/U_n \vert =\vert U_1/U_n \vert\times \vert(\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z})^* \vert$. Por lo tanto $\vert U_1/U_n \vert=p^{n-1}$.

PS: Serre del libro "Un curso de Aritmética" es una muy buena referencia para p-ádico números.