Ejemplo de función $u\in L^\infty(0,T,H^1)$ tal que $u_t\notin L^\infty(0,T,H^1)$

Question

¿Podría alguien darme un ejemplo de una función $u\in L^\infty(0,T,H^1)$ tal que $u_t$ existe (en el sentido distributivo), $u_t\in L^\infty(0,T,L^2)$ y $u_t\notin L^\infty(0,T,H^1)$ ?

Gracias.

EDITAR (para añadir contexto). Dejemos que $f_0\in H^1$ . Si $u(t)=f_0$ (función constante con respecto a $t$ ) entonces $u\in L^\infty(0,T,H^1)$ y $u_t\in L^\infty(0,T,H^1)$ . Si $u(t)=\int_0^t f_0\;dt$ , ocurre lo mismo. Estos son simples ejemplos en los que he pensado. Esencialmente, mi pregunta es: ¿Cómo derivar $u$ con respecto a $t$ afecta a la regularidad de $u(t)$ con respecto a $x$ ? Creo que los ejemplos pueden ayudarme a entenderlo.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y $u\in L^1(0,T,X)$ . Decimos que $u'\in L^1(0,T,X)$ la derivada débil de $u$ si $$\int_0^T u(t)\phi'(t)dt=-\int_0^T u'(t)\phi(t)dt,\forall\ \phi\in C_0^\infty(0,T).$$

Según esta definición, el problema no es que $u'(t)$ no pertenece a $H^1$ , sí pertenece a $H^1$ . La cuestión es, si pertenece a $L^\infty$ es decir $$u\in L^\infty (0,T,H^1),\ u'\in L^\infty(0,T,L^2)\ \mbox{implies}\ u'\in L^\infty(0,T,H^1)? $$

Tenga en cuenta que $u'\in L^\infty(0,T,L^2)$ equivale a $$\sup_{t\in (0,T)} \|u'(t)\|_2<\infty,$$

mientras que $u'\in L^\infty(0,T,H^1)$ equivale a $$\sup_{t\in (0,T)} \|u'(t)\|_{1,2}<\infty.$$

Son dos cosas diferentes. Ahora creo que puedes construir un ejemplo que satisfaga tus necesidades.