¿Qué acerca de la $\sum_{\substack{2\leq n\leq y,\text{n prime}}}n\log\log n$ al $y=[x]\to\infty$?

Question

Para una real $x\geq 2$ y cuando tomamos $y= [x]$ su parte entera, estoy tratando de estudiar la talla asintótica o el crecimiento de $$\sum_{\substack{2\leq n\leq y,\text{n prime}}}n\log\log n,$$ Creo que la combinación de Abel suma fórmula con conocidos teoremas de la teoría analítica de números, quizás, es posible demostrar que es asintóticamente equivalente como $x\to\infty$ $c\cdot\pi(y)\sigma(y)$ donde $\pi(y)$ es la primer función de recuento y $\sigma(y)$ es la suma de los divisores de la función. Entonces

Pregunta. Se puede demostrar o refutar $$\sum_{\substack{2\leq n\leq y,\text{n prime}}}n\log\log n\sim c\cdot\pi(y)\sigma(y),$$ para una constante positiva $c$? Gracias de antemano.

Yo creo que eso es cierto, pero no sé cómo analizar cada sumando en mis cálculos.

Answer 1

Por parciales de suma, \[\sum_{p \leq x} p \log \log p = x \log \log x \pi(x) - \int_{2}^{x} \pi(t) \left(\log \log t + \frac{1}{\log t}\right) \, dt. \] Ahora, por el teorema de los números primos, existe alguna constante $c > 0$ tal que \[\pi(x) = \mathrm{Li}(x) + O\left(x e^{-c\sqrt{\log x}}\right)\] donde \[\mathrm{Li}(x) = \int_{2}^{x} \frac{du}{\log u},\] y así \[\sum_{p \leq x} p \log \log p = x \log \log x \mathrm{Li}(x) - \int_{2}^{x} \int_{2}^{t} \frac{\log \log t}{\log u} \, du \, dt - \int_{2}^{x} \int_{2}^{t} \frac{1}{\log u \log t} \, du \, dt + O\left(x^2 e^{-c'\sqrt{\log x}}\right) \] para algunas constantes $c' > 0$. Ahora \[\int_{2}^{x} \int_{2}^{t} \frac{\log \log t}{\log u} \, du \, dt = \int_{2}^{x} \frac{1}{\log u} \int_{u}^{x} \log \log t \, dt \, du, \] y a través de la integración por partes, esto es \[x \log \log x \mathrm{Li}(x) - \int_{2}^{x} \frac{u \log \log u}{\log u} \, du - \int_{2}^{x} \int_{u}^{x} \frac{1}{\log u \log t} \, dt \, du. \] Así, obtenemos \[\sum_{p \leq x} p \log \log p = \int_{2}^{x} \frac{u \log \log u}{\log u} \, du + O\left(x^2 e^{-c'\sqrt{\log x}}\right). \] Pero esto no tiene nada que ver con la suma de los divisores de la función! De hecho, el problema es que la suma de los divisores de la función es demasiado aleatorio: si $n$ es un número primo, entonces $\sigma(n) = n + 1 \approx n$, mientras que para los compuestos de $n$ puede ser el caso de que $\sigma(n) \approx e^{\gamma_0} n \log \log n$.